$$$\frac{a}{v}$$$ 對 $$$v$$$ 的積分

求$$$\int \frac{a}{v}\, dv$$$。

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(v \right)}\, dv = c \int f{\left(v \right)}\, dv$$$，使用 $$$c=a$$$ 與 $$$f{\left(v \right)} = \frac{1}{v}$$$：

$${\color{red}{\int{\frac{a}{v} d v}}} = {\color{red}{a \int{\frac{1}{v} d v}}}$$

$$$\frac{1}{v}$$$ 的積分是 $$$\int{\frac{1}{v} d v} = \ln{\left(\left|{v}\right| \right)}$$$：

$$a {\color{red}{\int{\frac{1}{v} d v}}} = a {\color{red}{\ln{\left(\left|{v}\right| \right)}}}$$

因此，

$$\int{\frac{a}{v} d v} = a \ln{\left(\left|{v}\right| \right)}$$

加上積分常數：

$$\int{\frac{a}{v} d v} = a \ln{\left(\left|{v}\right| \right)}+C$$

$$$\int \frac{a}{v}\, dv = a \ln\left(\left|{v}\right|\right) + C$$$A