$$$s x^{- m} x^{n}$$$ 對 $$$x$$$ 的積分
您的輸入
求$$$\int s x^{- m} x^{n}\, dx$$$。
解答
已將輸入重寫為：$$$\int{s x^{- m} x^{n} d x}=\int{s x^{- m + n} d x}$$$。
套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$，使用 $$$c=s$$$ 與 $$$f{\left(x \right)} = x^{- m + n}$$$：
$${\color{red}{\int{s x^{- m + n} d x}}} = {\color{red}{s \int{x^{- m + n} d x}}}$$
套用冪次法則 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，以 $$$n=- m + n$$$：
$$s {\color{red}{\int{x^{- m + n} d x}}}=s {\color{red}{\frac{x^{\left(- m + n\right) + 1}}{\left(- m + n\right) + 1}}}=s {\color{red}{\frac{x^{- m + n + 1}}{- m + n + 1}}}$$
因此，
$$\int{s x^{- m + n} d x} = \frac{s x^{- m + n + 1}}{- m + n + 1}$$
加上積分常數：
$$\int{s x^{- m + n} d x} = \frac{s x^{- m + n + 1}}{- m + n + 1}+C$$
答案
$$$\int s x^{- m} x^{n}\, dx = \frac{s x^{- m + n + 1}}{- m + n + 1} + C$$$A