$$$9 \sin{\left(3 x \right)}$$$ 的積分
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求$$$\int 9 \sin{\left(3 x \right)}\, dx$$$。
解答
套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$，使用 $$$c=9$$$ 與 $$$f{\left(x \right)} = \sin{\left(3 x \right)}$$$：
$${\color{red}{\int{9 \sin{\left(3 x \right)} d x}}} = {\color{red}{\left(9 \int{\sin{\left(3 x \right)} d x}\right)}}$$
令 $$$u=3 x$$$。
則 $$$du=\left(3 x\right)^{\prime }dx = 3 dx$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dx = \frac{du}{3}$$$。
所以，
$$9 {\color{red}{\int{\sin{\left(3 x \right)} d x}}} = 9 {\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{3} d u}}}$$
套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=\frac{1}{3}$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$$$：
$$9 {\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{3} d u}}} = 9 {\color{red}{\left(\frac{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}{3}\right)}}$$
正弦函數的積分為 $$$\int{\sin{\left(u \right)} d u} = - \cos{\left(u \right)}$$$：
$$3 {\color{red}{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}} = 3 {\color{red}{\left(- \cos{\left(u \right)}\right)}}$$
回顧一下 $$$u=3 x$$$：
$$- 3 \cos{\left({\color{red}{u}} \right)} = - 3 \cos{\left({\color{red}{\left(3 x\right)}} \right)}$$
因此，
$$\int{9 \sin{\left(3 x \right)} d x} = - 3 \cos{\left(3 x \right)}$$
加上積分常數：
$$\int{9 \sin{\left(3 x \right)} d x} = - 3 \cos{\left(3 x \right)}+C$$
答案
$$$\int 9 \sin{\left(3 x \right)}\, dx = - 3 \cos{\left(3 x \right)} + C$$$A