$$$9 e^{- \frac{t}{2}}$$$ 的積分

求$$$\int 9 e^{- \frac{t}{2}}\, dt$$$。

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(t \right)}\, dt = c \int f{\left(t \right)}\, dt$$$，使用 $$$c=9$$$ 與 $$$f{\left(t \right)} = e^{- \frac{t}{2}}$$$：

$${\color{red}{\int{9 e^{- \frac{t}{2}} d t}}} = {\color{red}{\left(9 \int{e^{- \frac{t}{2}} d t}\right)}}$$

令 $$$u=- \frac{t}{2}$$$。

則 $$$du=\left(- \frac{t}{2}\right)^{\prime }dt = - \frac{dt}{2}$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dt = - 2 du$$$。

因此，

$$9 {\color{red}{\int{e^{- \frac{t}{2}} d t}}} = 9 {\color{red}{\int{\left(- 2 e^{u}\right)d u}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=-2$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$：

$$9 {\color{red}{\int{\left(- 2 e^{u}\right)d u}}} = 9 {\color{red}{\left(- 2 \int{e^{u} d u}\right)}}$$

指數函數的積分為 $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$：

$$- 18 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = - 18 {\color{red}{e^{u}}}$$

回顧一下 $$$u=- \frac{t}{2}$$$：

$$- 18 e^{{\color{red}{u}}} = - 18 e^{{\color{red}{\left(- \frac{t}{2}\right)}}}$$

因此，

$$\int{9 e^{- \frac{t}{2}} d t} = - 18 e^{- \frac{t}{2}}$$

加上積分常數：

$$\int{9 e^{- \frac{t}{2}} d t} = - 18 e^{- \frac{t}{2}}+C$$

$$$\int 9 e^{- \frac{t}{2}}\, dt = - 18 e^{- \frac{t}{2}} + C$$$A