$$$95 x^{3} - 3 x^{2} - 19 x - 1$$$ 的積分

求$$$\int \left(95 x^{3} - 3 x^{2} - 19 x - 1\right)\, dx$$$。

逐項積分：

$${\color{red}{\int{\left(95 x^{3} - 3 x^{2} - 19 x - 1\right)d x}}} = {\color{red}{\left(- \int{1 d x} - \int{19 x d x} - \int{3 x^{2} d x} + \int{95 x^{3} d x}\right)}}$$

配合 $$$c=1$$$，應用常數法則 $$$\int c\, dx = c x$$$：

$$- \int{19 x d x} - \int{3 x^{2} d x} + \int{95 x^{3} d x} - {\color{red}{\int{1 d x}}} = - \int{19 x d x} - \int{3 x^{2} d x} + \int{95 x^{3} d x} - {\color{red}{x}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$，使用 $$$c=19$$$ 與 $$$f{\left(x \right)} = x$$$：

$$- x - \int{3 x^{2} d x} + \int{95 x^{3} d x} - {\color{red}{\int{19 x d x}}} = - x - \int{3 x^{2} d x} + \int{95 x^{3} d x} - {\color{red}{\left(19 \int{x d x}\right)}}$$

套用冪次法則 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，以 $$$n=1$$$：

$$- x - \int{3 x^{2} d x} + \int{95 x^{3} d x} - 19 {\color{red}{\int{x d x}}}=- x - \int{3 x^{2} d x} + \int{95 x^{3} d x} - 19 {\color{red}{\frac{x^{1 + 1}}{1 + 1}}}=- x - \int{3 x^{2} d x} + \int{95 x^{3} d x} - 19 {\color{red}{\left(\frac{x^{2}}{2}\right)}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$，使用 $$$c=3$$$ 與 $$$f{\left(x \right)} = x^{2}$$$：

$$- \frac{19 x^{2}}{2} - x + \int{95 x^{3} d x} - {\color{red}{\int{3 x^{2} d x}}} = - \frac{19 x^{2}}{2} - x + \int{95 x^{3} d x} - {\color{red}{\left(3 \int{x^{2} d x}\right)}}$$

套用冪次法則 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，以 $$$n=2$$$：

$$- \frac{19 x^{2}}{2} - x + \int{95 x^{3} d x} - 3 {\color{red}{\int{x^{2} d x}}}=- \frac{19 x^{2}}{2} - x + \int{95 x^{3} d x} - 3 {\color{red}{\frac{x^{1 + 2}}{1 + 2}}}=- \frac{19 x^{2}}{2} - x + \int{95 x^{3} d x} - 3 {\color{red}{\left(\frac{x^{3}}{3}\right)}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$，使用 $$$c=95$$$ 與 $$$f{\left(x \right)} = x^{3}$$$：

$$- x^{3} - \frac{19 x^{2}}{2} - x + {\color{red}{\int{95 x^{3} d x}}} = - x^{3} - \frac{19 x^{2}}{2} - x + {\color{red}{\left(95 \int{x^{3} d x}\right)}}$$

套用冪次法則 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，以 $$$n=3$$$：

$$- x^{3} - \frac{19 x^{2}}{2} - x + 95 {\color{red}{\int{x^{3} d x}}}=- x^{3} - \frac{19 x^{2}}{2} - x + 95 {\color{red}{\frac{x^{1 + 3}}{1 + 3}}}=- x^{3} - \frac{19 x^{2}}{2} - x + 95 {\color{red}{\left(\frac{x^{4}}{4}\right)}}$$

因此，

$$\int{\left(95 x^{3} - 3 x^{2} - 19 x - 1\right)d x} = \frac{95 x^{4}}{4} - x^{3} - \frac{19 x^{2}}{2} - x$$

化簡：

$$\int{\left(95 x^{3} - 3 x^{2} - 19 x - 1\right)d x} = \frac{x \left(95 x^{3} - 4 x^{2} - 38 x - 4\right)}{4}$$

加上積分常數：

$$\int{\left(95 x^{3} - 3 x^{2} - 19 x - 1\right)d x} = \frac{x \left(95 x^{3} - 4 x^{2} - 38 x - 4\right)}{4}+C$$

$$$\int \left(95 x^{3} - 3 x^{2} - 19 x - 1\right)\, dx = \frac{x \left(95 x^{3} - 4 x^{2} - 38 x - 4\right)}{4} + C$$$A