$$$5 e^{5 s} \sin{\left(e^{5 s} \right)}$$$ 的積分

求$$$\int 5 e^{5 s} \sin{\left(e^{5 s} \right)}\, ds$$$。

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(s \right)}\, ds = c \int f{\left(s \right)}\, ds$$$，使用 $$$c=5$$$ 與 $$$f{\left(s \right)} = e^{5 s} \sin{\left(e^{5 s} \right)}$$$：

$${\color{red}{\int{5 e^{5 s} \sin{\left(e^{5 s} \right)} d s}}} = {\color{red}{\left(5 \int{e^{5 s} \sin{\left(e^{5 s} \right)} d s}\right)}}$$

令 $$$u=5 s$$$。

則 $$$du=\left(5 s\right)^{\prime }ds = 5 ds$$$ (步驟見»)，並可得 $$$ds = \frac{du}{5}$$$。

因此，

$$5 {\color{red}{\int{e^{5 s} \sin{\left(e^{5 s} \right)} d s}}} = 5 {\color{red}{\int{\frac{e^{u} \sin{\left(e^{u} \right)}}{5} d u}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=\frac{1}{5}$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = e^{u} \sin{\left(e^{u} \right)}$$$：

$$5 {\color{red}{\int{\frac{e^{u} \sin{\left(e^{u} \right)}}{5} d u}}} = 5 {\color{red}{\left(\frac{\int{e^{u} \sin{\left(e^{u} \right)} d u}}{5}\right)}}$$

令 $$$v=e^{u}$$$。

則 $$$dv=\left(e^{u}\right)^{\prime }du = e^{u} du$$$ (步驟見»)，並可得 $$$e^{u} du = dv$$$。

所以，

$${\color{red}{\int{e^{u} \sin{\left(e^{u} \right)} d u}}} = {\color{red}{\int{\sin{\left(v \right)} d v}}}$$

正弦函數的積分為 $$$\int{\sin{\left(v \right)} d v} = - \cos{\left(v \right)}$$$：

$${\color{red}{\int{\sin{\left(v \right)} d v}}} = {\color{red}{\left(- \cos{\left(v \right)}\right)}}$$

回顧一下 $$$v=e^{u}$$$：

$$- \cos{\left({\color{red}{v}} \right)} = - \cos{\left({\color{red}{e^{u}}} \right)}$$

回顧一下 $$$u=5 s$$$：

$$- \cos{\left(e^{{\color{red}{u}}} \right)} = - \cos{\left(e^{{\color{red}{\left(5 s\right)}}} \right)}$$

因此，

$$\int{5 e^{5 s} \sin{\left(e^{5 s} \right)} d s} = - \cos{\left(e^{5 s} \right)}$$

加上積分常數：

$$\int{5 e^{5 s} \sin{\left(e^{5 s} \right)} d s} = - \cos{\left(e^{5 s} \right)}+C$$

$$$\int 5 e^{5 s} \sin{\left(e^{5 s} \right)}\, ds = - \cos{\left(e^{5 s} \right)} + C$$$A