$$$\frac{5 x^{2}}{2} - 3 x - \frac{21}{2}$$$ 的積分

求$$$\int \left(\frac{5 x^{2}}{2} - 3 x - \frac{21}{2}\right)\, dx$$$。

逐項積分：

$${\color{red}{\int{\left(\frac{5 x^{2}}{2} - 3 x - \frac{21}{2}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(- \int{\frac{21}{2} d x} - \int{3 x d x} + \int{\frac{5 x^{2}}{2} d x}\right)}}$$

配合 $$$c=\frac{21}{2}$$$，應用常數法則 $$$\int c\, dx = c x$$$：

$$- \int{3 x d x} + \int{\frac{5 x^{2}}{2} d x} - {\color{red}{\int{\frac{21}{2} d x}}} = - \int{3 x d x} + \int{\frac{5 x^{2}}{2} d x} - {\color{red}{\left(\frac{21 x}{2}\right)}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$，使用 $$$c=3$$$ 與 $$$f{\left(x \right)} = x$$$：

$$- \frac{21 x}{2} + \int{\frac{5 x^{2}}{2} d x} - {\color{red}{\int{3 x d x}}} = - \frac{21 x}{2} + \int{\frac{5 x^{2}}{2} d x} - {\color{red}{\left(3 \int{x d x}\right)}}$$

套用冪次法則 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，以 $$$n=1$$$：

$$- \frac{21 x}{2} + \int{\frac{5 x^{2}}{2} d x} - 3 {\color{red}{\int{x d x}}}=- \frac{21 x}{2} + \int{\frac{5 x^{2}}{2} d x} - 3 {\color{red}{\frac{x^{1 + 1}}{1 + 1}}}=- \frac{21 x}{2} + \int{\frac{5 x^{2}}{2} d x} - 3 {\color{red}{\left(\frac{x^{2}}{2}\right)}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$，使用 $$$c=\frac{5}{2}$$$ 與 $$$f{\left(x \right)} = x^{2}$$$：

$$- \frac{3 x^{2}}{2} - \frac{21 x}{2} + {\color{red}{\int{\frac{5 x^{2}}{2} d x}}} = - \frac{3 x^{2}}{2} - \frac{21 x}{2} + {\color{red}{\left(\frac{5 \int{x^{2} d x}}{2}\right)}}$$

套用冪次法則 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，以 $$$n=2$$$：

$$- \frac{3 x^{2}}{2} - \frac{21 x}{2} + \frac{5 {\color{red}{\int{x^{2} d x}}}}{2}=- \frac{3 x^{2}}{2} - \frac{21 x}{2} + \frac{5 {\color{red}{\frac{x^{1 + 2}}{1 + 2}}}}{2}=- \frac{3 x^{2}}{2} - \frac{21 x}{2} + \frac{5 {\color{red}{\left(\frac{x^{3}}{3}\right)}}}{2}$$

因此，

$$\int{\left(\frac{5 x^{2}}{2} - 3 x - \frac{21}{2}\right)d x} = \frac{5 x^{3}}{6} - \frac{3 x^{2}}{2} - \frac{21 x}{2}$$

化簡：

$$\int{\left(\frac{5 x^{2}}{2} - 3 x - \frac{21}{2}\right)d x} = \frac{x \left(5 x^{2} - 9 x - 63\right)}{6}$$

加上積分常數：

$$\int{\left(\frac{5 x^{2}}{2} - 3 x - \frac{21}{2}\right)d x} = \frac{x \left(5 x^{2} - 9 x - 63\right)}{6}+C$$

$$$\int \left(\frac{5 x^{2}}{2} - 3 x - \frac{21}{2}\right)\, dx = \frac{x \left(5 x^{2} - 9 x - 63\right)}{6} + C$$$A