$$$4 x + \frac{3}{x^{2}}$$$ 的積分
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求$$$\int \left(4 x + \frac{3}{x^{2}}\right)\, dx$$$。
解答
逐項積分：
$${\color{red}{\int{\left(4 x + \frac{3}{x^{2}}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(\int{\frac{3}{x^{2}} d x} + \int{4 x d x}\right)}}$$
套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$，使用 $$$c=3$$$ 與 $$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{x^{2}}$$$：
$$\int{4 x d x} + {\color{red}{\int{\frac{3}{x^{2}} d x}}} = \int{4 x d x} + {\color{red}{\left(3 \int{\frac{1}{x^{2}} d x}\right)}}$$
套用冪次法則 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，以 $$$n=-2$$$：
$$\int{4 x d x} + 3 {\color{red}{\int{\frac{1}{x^{2}} d x}}}=\int{4 x d x} + 3 {\color{red}{\int{x^{-2} d x}}}=\int{4 x d x} + 3 {\color{red}{\frac{x^{-2 + 1}}{-2 + 1}}}=\int{4 x d x} + 3 {\color{red}{\left(- x^{-1}\right)}}=\int{4 x d x} + 3 {\color{red}{\left(- \frac{1}{x}\right)}}$$
套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$，使用 $$$c=4$$$ 與 $$$f{\left(x \right)} = x$$$：
$${\color{red}{\int{4 x d x}}} - \frac{3}{x} = {\color{red}{\left(4 \int{x d x}\right)}} - \frac{3}{x}$$
套用冪次法則 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，以 $$$n=1$$$：
$$4 {\color{red}{\int{x d x}}} - \frac{3}{x}=4 {\color{red}{\frac{x^{1 + 1}}{1 + 1}}} - \frac{3}{x}=4 {\color{red}{\left(\frac{x^{2}}{2}\right)}} - \frac{3}{x}$$
因此，
$$\int{\left(4 x + \frac{3}{x^{2}}\right)d x} = 2 x^{2} - \frac{3}{x}$$
化簡：
$$\int{\left(4 x + \frac{3}{x^{2}}\right)d x} = \frac{2 x^{3} - 3}{x}$$
加上積分常數：
$$\int{\left(4 x + \frac{3}{x^{2}}\right)d x} = \frac{2 x^{3} - 3}{x}+C$$
答案
$$$\int \left(4 x + \frac{3}{x^{2}}\right)\, dx = \frac{2 x^{3} - 3}{x} + C$$$A