$$$\frac{4 x}{x - 6}$$$ 的積分

求$$$\int \frac{4 x}{x - 6}\, dx$$$。

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$，使用 $$$c=4$$$ 與 $$$f{\left(x \right)} = \frac{x}{x - 6}$$$：

$${\color{red}{\int{\frac{4 x}{x - 6} d x}}} = {\color{red}{\left(4 \int{\frac{x}{x - 6} d x}\right)}}$$

重寫並拆分分式:

$$4 {\color{red}{\int{\frac{x}{x - 6} d x}}} = 4 {\color{red}{\int{\left(1 + \frac{6}{x - 6}\right)d x}}}$$

逐項積分：

$$4 {\color{red}{\int{\left(1 + \frac{6}{x - 6}\right)d x}}} = 4 {\color{red}{\left(\int{1 d x} + \int{\frac{6}{x - 6} d x}\right)}}$$

配合 $$$c=1$$$，應用常數法則 $$$\int c\, dx = c x$$$：

$$4 \int{\frac{6}{x - 6} d x} + 4 {\color{red}{\int{1 d x}}} = 4 \int{\frac{6}{x - 6} d x} + 4 {\color{red}{x}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$，使用 $$$c=6$$$ 與 $$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{x - 6}$$$：

$$4 x + 4 {\color{red}{\int{\frac{6}{x - 6} d x}}} = 4 x + 4 {\color{red}{\left(6 \int{\frac{1}{x - 6} d x}\right)}}$$

令 $$$u=x - 6$$$。

則 $$$du=\left(x - 6\right)^{\prime }dx = 1 dx$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dx = du$$$。

因此，

$$4 x + 24 {\color{red}{\int{\frac{1}{x - 6} d x}}} = 4 x + 24 {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}$$

$$$\frac{1}{u}$$$ 的積分是 $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$：

$$4 x + 24 {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}} = 4 x + 24 {\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}$$

回顧一下 $$$u=x - 6$$$：

$$4 x + 24 \ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)} = 4 x + 24 \ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(x - 6\right)}}}\right| \right)}$$

因此，

$$\int{\frac{4 x}{x - 6} d x} = 4 x + 24 \ln{\left(\left|{x - 6}\right| \right)}$$

加上積分常數：

$$\int{\frac{4 x}{x - 6} d x} = 4 x + 24 \ln{\left(\left|{x - 6}\right| \right)}+C$$

$$$\int \frac{4 x}{x - 6}\, dx = \left(4 x + 24 \ln\left(\left|{x - 6}\right|\right)\right) + C$$$A