$$$4 t e^{t}$$$ 的積分

求$$$\int 4 t e^{t}\, dt$$$。

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(t \right)}\, dt = c \int f{\left(t \right)}\, dt$$$，使用 $$$c=4$$$ 與 $$$f{\left(t \right)} = t e^{t}$$$：

$${\color{red}{\int{4 t e^{t} d t}}} = {\color{red}{\left(4 \int{t e^{t} d t}\right)}}$$

對於積分 $$$\int{t e^{t} d t}$$$，使用分部積分法 $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$。

令 $$$\operatorname{u}=t$$$ 與 $$$\operatorname{dv}=e^{t} dt$$$。

則 $$$\operatorname{du}=\left(t\right)^{\prime }dt=1 dt$$$（步驟見 »），且 $$$\operatorname{v}=\int{e^{t} d t}=e^{t}$$$（步驟見 »）。

該積分變為

$$4 {\color{red}{\int{t e^{t} d t}}}=4 {\color{red}{\left(t \cdot e^{t}-\int{e^{t} \cdot 1 d t}\right)}}=4 {\color{red}{\left(t e^{t} - \int{e^{t} d t}\right)}}$$

指數函數的積分為 $$$\int{e^{t} d t} = e^{t}$$$：

$$4 t e^{t} - 4 {\color{red}{\int{e^{t} d t}}} = 4 t e^{t} - 4 {\color{red}{e^{t}}}$$

因此，

$$\int{4 t e^{t} d t} = 4 t e^{t} - 4 e^{t}$$

化簡：

$$\int{4 t e^{t} d t} = 4 \left(t - 1\right) e^{t}$$

加上積分常數：

$$\int{4 t e^{t} d t} = 4 \left(t - 1\right) e^{t}+C$$

$$$\int 4 t e^{t}\, dt = 4 \left(t - 1\right) e^{t} + C$$$A