$$$4 \sin{\left(\frac{\pi t}{2} \right)}$$$ 的積分
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求$$$\int 4 \sin{\left(\frac{\pi t}{2} \right)}\, dt$$$。
解答
套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(t \right)}\, dt = c \int f{\left(t \right)}\, dt$$$，使用 $$$c=4$$$ 與 $$$f{\left(t \right)} = \sin{\left(\frac{\pi t}{2} \right)}$$$：
$${\color{red}{\int{4 \sin{\left(\frac{\pi t}{2} \right)} d t}}} = {\color{red}{\left(4 \int{\sin{\left(\frac{\pi t}{2} \right)} d t}\right)}}$$
令 $$$u=\frac{\pi t}{2}$$$。
則 $$$du=\left(\frac{\pi t}{2}\right)^{\prime }dt = \frac{\pi}{2} dt$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dt = \frac{2 du}{\pi}$$$。
該積分可改寫為
$$4 {\color{red}{\int{\sin{\left(\frac{\pi t}{2} \right)} d t}}} = 4 {\color{red}{\int{\frac{2 \sin{\left(u \right)}}{\pi} d u}}}$$
套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=\frac{2}{\pi}$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$$$：
$$4 {\color{red}{\int{\frac{2 \sin{\left(u \right)}}{\pi} d u}}} = 4 {\color{red}{\left(\frac{2 \int{\sin{\left(u \right)} d u}}{\pi}\right)}}$$
正弦函數的積分為 $$$\int{\sin{\left(u \right)} d u} = - \cos{\left(u \right)}$$$：
$$\frac{8 {\color{red}{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}}}{\pi} = \frac{8 {\color{red}{\left(- \cos{\left(u \right)}\right)}}}{\pi}$$
回顧一下 $$$u=\frac{\pi t}{2}$$$：
$$- \frac{8 \cos{\left({\color{red}{u}} \right)}}{\pi} = - \frac{8 \cos{\left({\color{red}{\left(\frac{\pi t}{2}\right)}} \right)}}{\pi}$$
因此，
$$\int{4 \sin{\left(\frac{\pi t}{2} \right)} d t} = - \frac{8 \cos{\left(\frac{\pi t}{2} \right)}}{\pi}$$
加上積分常數：
$$\int{4 \sin{\left(\frac{\pi t}{2} \right)} d t} = - \frac{8 \cos{\left(\frac{\pi t}{2} \right)}}{\pi}+C$$
答案
$$$\int 4 \sin{\left(\frac{\pi t}{2} \right)}\, dt = - \frac{8 \cos{\left(\frac{\pi t}{2} \right)}}{\pi} + C$$$A