$$$48 \sin{\left(3 t \right)}$$$ 的積分
您的輸入
求$$$\int 48 \sin{\left(3 t \right)}\, dt$$$。
解答
套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(t \right)}\, dt = c \int f{\left(t \right)}\, dt$$$，使用 $$$c=48$$$ 與 $$$f{\left(t \right)} = \sin{\left(3 t \right)}$$$：
$${\color{red}{\int{48 \sin{\left(3 t \right)} d t}}} = {\color{red}{\left(48 \int{\sin{\left(3 t \right)} d t}\right)}}$$
令 $$$u=3 t$$$。
則 $$$du=\left(3 t\right)^{\prime }dt = 3 dt$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dt = \frac{du}{3}$$$。
該積分可改寫為
$$48 {\color{red}{\int{\sin{\left(3 t \right)} d t}}} = 48 {\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{3} d u}}}$$
套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=\frac{1}{3}$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$$$：
$$48 {\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{3} d u}}} = 48 {\color{red}{\left(\frac{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}{3}\right)}}$$
正弦函數的積分為 $$$\int{\sin{\left(u \right)} d u} = - \cos{\left(u \right)}$$$：
$$16 {\color{red}{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}} = 16 {\color{red}{\left(- \cos{\left(u \right)}\right)}}$$
回顧一下 $$$u=3 t$$$：
$$- 16 \cos{\left({\color{red}{u}} \right)} = - 16 \cos{\left({\color{red}{\left(3 t\right)}} \right)}$$
因此，
$$\int{48 \sin{\left(3 t \right)} d t} = - 16 \cos{\left(3 t \right)}$$
加上積分常數：
$$\int{48 \sin{\left(3 t \right)} d t} = - 16 \cos{\left(3 t \right)}+C$$
答案
$$$\int 48 \sin{\left(3 t \right)}\, dt = - 16 \cos{\left(3 t \right)} + C$$$A