$$$\frac{4 \ln\left(x\right)}{x^{4}}$$$ 的積分

求$$$\int \frac{4 \ln\left(x\right)}{x^{4}}\, dx$$$。

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$，使用 $$$c=4$$$ 與 $$$f{\left(x \right)} = \frac{\ln{\left(x \right)}}{x^{4}}$$$：

$${\color{red}{\int{\frac{4 \ln{\left(x \right)}}{x^{4}} d x}}} = {\color{red}{\left(4 \int{\frac{\ln{\left(x \right)}}{x^{4}} d x}\right)}}$$

對於積分 $$$\int{\frac{\ln{\left(x \right)}}{x^{4}} d x}$$$，使用分部積分法 $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$。

令 $$$\operatorname{u}=\ln{\left(x \right)}$$$ 與 $$$\operatorname{dv}=\frac{dx}{x^{4}}$$$。

則 $$$\operatorname{du}=\left(\ln{\left(x \right)}\right)^{\prime }dx=\frac{dx}{x}$$$（步驟見 »），且 $$$\operatorname{v}=\int{\frac{1}{x^{4}} d x}=- \frac{1}{3 x^{3}}$$$（步驟見 »）。

該積分變為

$$4 {\color{red}{\int{\frac{\ln{\left(x \right)}}{x^{4}} d x}}}=4 {\color{red}{\left(\ln{\left(x \right)} \cdot \left(- \frac{1}{3 x^{3}}\right)-\int{\left(- \frac{1}{3 x^{3}}\right) \cdot \frac{1}{x} d x}\right)}}=4 {\color{red}{\left(- \int{\left(- \frac{1}{3 x^{4}}\right)d x} - \frac{\ln{\left(x \right)}}{3 x^{3}}\right)}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$，使用 $$$c=- \frac{1}{3}$$$ 與 $$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{x^{4}}$$$：

$$- 4 {\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{3 x^{4}}\right)d x}}} - \frac{4 \ln{\left(x \right)}}{3 x^{3}} = - 4 {\color{red}{\left(- \frac{\int{\frac{1}{x^{4}} d x}}{3}\right)}} - \frac{4 \ln{\left(x \right)}}{3 x^{3}}$$

套用冪次法則 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，以 $$$n=-4$$$：

$$\frac{4 {\color{red}{\int{\frac{1}{x^{4}} d x}}}}{3} - \frac{4 \ln{\left(x \right)}}{3 x^{3}}=\frac{4 {\color{red}{\int{x^{-4} d x}}}}{3} - \frac{4 \ln{\left(x \right)}}{3 x^{3}}=\frac{4 {\color{red}{\frac{x^{-4 + 1}}{-4 + 1}}}}{3} - \frac{4 \ln{\left(x \right)}}{3 x^{3}}=\frac{4 {\color{red}{\left(- \frac{x^{-3}}{3}\right)}}}{3} - \frac{4 \ln{\left(x \right)}}{3 x^{3}}=\frac{4 {\color{red}{\left(- \frac{1}{3 x^{3}}\right)}}}{3} - \frac{4 \ln{\left(x \right)}}{3 x^{3}}$$

因此，

$$\int{\frac{4 \ln{\left(x \right)}}{x^{4}} d x} = - \frac{4 \ln{\left(x \right)}}{3 x^{3}} - \frac{4}{9 x^{3}}$$

化簡：

$$\int{\frac{4 \ln{\left(x \right)}}{x^{4}} d x} = \frac{4 \left(- 3 \ln{\left(x \right)} - 1\right)}{9 x^{3}}$$

加上積分常數：

$$\int{\frac{4 \ln{\left(x \right)}}{x^{4}} d x} = \frac{4 \left(- 3 \ln{\left(x \right)} - 1\right)}{9 x^{3}}+C$$

$$$\int \frac{4 \ln\left(x\right)}{x^{4}}\, dx = \frac{4 \left(- 3 \ln\left(x\right) - 1\right)}{9 x^{3}} + C$$$A