$$$\frac{4}{3 x - 1}$$$ 的積分
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求$$$\int \frac{4}{3 x - 1}\, dx$$$。
解答
套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$，使用 $$$c=4$$$ 與 $$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{3 x - 1}$$$：
$${\color{red}{\int{\frac{4}{3 x - 1} d x}}} = {\color{red}{\left(4 \int{\frac{1}{3 x - 1} d x}\right)}}$$
令 $$$u=3 x - 1$$$。
則 $$$du=\left(3 x - 1\right)^{\prime }dx = 3 dx$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dx = \frac{du}{3}$$$。
該積分可改寫為
$$4 {\color{red}{\int{\frac{1}{3 x - 1} d x}}} = 4 {\color{red}{\int{\frac{1}{3 u} d u}}}$$
套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=\frac{1}{3}$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{u}$$$：
$$4 {\color{red}{\int{\frac{1}{3 u} d u}}} = 4 {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{u} d u}}{3}\right)}}$$
$$$\frac{1}{u}$$$ 的積分是 $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$：
$$\frac{4 {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}}{3} = \frac{4 {\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}}{3}$$
回顧一下 $$$u=3 x - 1$$$：
$$\frac{4 \ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)}}{3} = \frac{4 \ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(3 x - 1\right)}}}\right| \right)}}{3}$$
因此，
$$\int{\frac{4}{3 x - 1} d x} = \frac{4 \ln{\left(\left|{3 x - 1}\right| \right)}}{3}$$
加上積分常數：
$$\int{\frac{4}{3 x - 1} d x} = \frac{4 \ln{\left(\left|{3 x - 1}\right| \right)}}{3}+C$$
答案
$$$\int \frac{4}{3 x - 1}\, dx = \frac{4 \ln\left(\left|{3 x - 1}\right|\right)}{3} + C$$$A