$$$- 37 e^{x} + \frac{37}{x}$$$ 的積分

求$$$\int \left(- 37 e^{x} + \frac{37}{x}\right)\, dx$$$。

逐項積分：

$${\color{red}{\int{\left(- 37 e^{x} + \frac{37}{x}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(\int{\frac{37}{x} d x} - \int{37 e^{x} d x}\right)}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$，使用 $$$c=37$$$ 與 $$$f{\left(x \right)} = e^{x}$$$：

$$\int{\frac{37}{x} d x} - {\color{red}{\int{37 e^{x} d x}}} = \int{\frac{37}{x} d x} - {\color{red}{\left(37 \int{e^{x} d x}\right)}}$$

指數函數的積分為 $$$\int{e^{x} d x} = e^{x}$$$：

$$\int{\frac{37}{x} d x} - 37 {\color{red}{\int{e^{x} d x}}} = \int{\frac{37}{x} d x} - 37 {\color{red}{e^{x}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$，使用 $$$c=37$$$ 與 $$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$$$：

$$- 37 e^{x} + {\color{red}{\int{\frac{37}{x} d x}}} = - 37 e^{x} + {\color{red}{\left(37 \int{\frac{1}{x} d x}\right)}}$$

$$$\frac{1}{x}$$$ 的積分是 $$$\int{\frac{1}{x} d x} = \ln{\left(\left|{x}\right| \right)}$$$：

$$- 37 e^{x} + 37 {\color{red}{\int{\frac{1}{x} d x}}} = - 37 e^{x} + 37 {\color{red}{\ln{\left(\left|{x}\right| \right)}}}$$

因此，

$$\int{\left(- 37 e^{x} + \frac{37}{x}\right)d x} = - 37 e^{x} + 37 \ln{\left(\left|{x}\right| \right)}$$

加上積分常數：

$$\int{\left(- 37 e^{x} + \frac{37}{x}\right)d x} = - 37 e^{x} + 37 \ln{\left(\left|{x}\right| \right)}+C$$

$$$\int \left(- 37 e^{x} + \frac{37}{x}\right)\, dx = \left(- 37 e^{x} + 37 \ln\left(\left|{x}\right|\right)\right) + C$$$A