$$$2 e^{2 y}$$$ 的積分

求$$$\int 2 e^{2 y}\, dy$$$。

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(y \right)}\, dy = c \int f{\left(y \right)}\, dy$$$，使用 $$$c=2$$$ 與 $$$f{\left(y \right)} = e^{2 y}$$$：

$${\color{red}{\int{2 e^{2 y} d y}}} = {\color{red}{\left(2 \int{e^{2 y} d y}\right)}}$$

令 $$$u=2 y$$$。

則 $$$du=\left(2 y\right)^{\prime }dy = 2 dy$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dy = \frac{du}{2}$$$。

該積分變為

$$2 {\color{red}{\int{e^{2 y} d y}}} = 2 {\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{2} d u}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=\frac{1}{2}$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$：

$$2 {\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{2} d u}}} = 2 {\color{red}{\left(\frac{\int{e^{u} d u}}{2}\right)}}$$

指數函數的積分為 $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$：

$${\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = {\color{red}{e^{u}}}$$

回顧一下 $$$u=2 y$$$：

$$e^{{\color{red}{u}}} = e^{{\color{red}{\left(2 y\right)}}}$$

因此，

$$\int{2 e^{2 y} d y} = e^{2 y}$$

加上積分常數：

$$\int{2 e^{2 y} d y} = e^{2 y}+C$$

$$$\int 2 e^{2 y}\, dy = e^{2 y} + C$$$A