$$$20 e^{\frac{3 x}{2}}$$$ 的積分

求$$$\int 20 e^{\frac{3 x}{2}}\, dx$$$。

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$，使用 $$$c=20$$$ 與 $$$f{\left(x \right)} = e^{\frac{3 x}{2}}$$$：

$${\color{red}{\int{20 e^{\frac{3 x}{2}} d x}}} = {\color{red}{\left(20 \int{e^{\frac{3 x}{2}} d x}\right)}}$$

令 $$$u=\frac{3 x}{2}$$$。

則 $$$du=\left(\frac{3 x}{2}\right)^{\prime }dx = \frac{3 dx}{2}$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dx = \frac{2 du}{3}$$$。

該積分可改寫為

$$20 {\color{red}{\int{e^{\frac{3 x}{2}} d x}}} = 20 {\color{red}{\int{\frac{2 e^{u}}{3} d u}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=\frac{2}{3}$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$：

$$20 {\color{red}{\int{\frac{2 e^{u}}{3} d u}}} = 20 {\color{red}{\left(\frac{2 \int{e^{u} d u}}{3}\right)}}$$

指數函數的積分為 $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$：

$$\frac{40 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{3} = \frac{40 {\color{red}{e^{u}}}}{3}$$

回顧一下 $$$u=\frac{3 x}{2}$$$：

$$\frac{40 e^{{\color{red}{u}}}}{3} = \frac{40 e^{{\color{red}{\left(\frac{3 x}{2}\right)}}}}{3}$$

因此，

$$\int{20 e^{\frac{3 x}{2}} d x} = \frac{40 e^{\frac{3 x}{2}}}{3}$$

加上積分常數：

$$\int{20 e^{\frac{3 x}{2}} d x} = \frac{40 e^{\frac{3 x}{2}}}{3}+C$$

$$$\int 20 e^{\frac{3 x}{2}}\, dx = \frac{40 e^{\frac{3 x}{2}}}{3} + C$$$A