$$$2^{x} - 5^{x} - 10^{- x}$$$ 的積分

求$$$\int \left(2^{x} - 5^{x} - 10^{- x}\right)\, dx$$$。

逐項積分：

$${\color{red}{\int{\left(2^{x} - 5^{x} - 10^{- x}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(- \int{10^{- x} d x} + \int{2^{x} d x} - \int{5^{x} d x}\right)}}$$

Apply the exponential rule $$$\int{a^{x} d x} = \frac{a^{x}}{\ln{\left(a \right)}}$$$ with $$$a=2$$$:

$$- \int{10^{- x} d x} - \int{5^{x} d x} + {\color{red}{\int{2^{x} d x}}} = - \int{10^{- x} d x} - \int{5^{x} d x} + {\color{red}{\frac{2^{x}}{\ln{\left(2 \right)}}}}$$

Apply the exponential rule $$$\int{a^{x} d x} = \frac{a^{x}}{\ln{\left(a \right)}}$$$ with $$$a=5$$$:

$$\frac{2^{x}}{\ln{\left(2 \right)}} - \int{10^{- x} d x} - {\color{red}{\int{5^{x} d x}}} = \frac{2^{x}}{\ln{\left(2 \right)}} - \int{10^{- x} d x} - {\color{red}{\frac{5^{x}}{\ln{\left(5 \right)}}}}$$

令 $$$u=- x$$$。

則 $$$du=\left(- x\right)^{\prime }dx = - dx$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dx = - du$$$。

該積分可改寫為

$$\frac{2^{x}}{\ln{\left(2 \right)}} - \frac{5^{x}}{\ln{\left(5 \right)}} - {\color{red}{\int{10^{- x} d x}}} = \frac{2^{x}}{\ln{\left(2 \right)}} - \frac{5^{x}}{\ln{\left(5 \right)}} - {\color{red}{\int{\left(- 10^{u}\right)d u}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=-1$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = 10^{u}$$$：

$$\frac{2^{x}}{\ln{\left(2 \right)}} - \frac{5^{x}}{\ln{\left(5 \right)}} - {\color{red}{\int{\left(- 10^{u}\right)d u}}} = \frac{2^{x}}{\ln{\left(2 \right)}} - \frac{5^{x}}{\ln{\left(5 \right)}} - {\color{red}{\left(- \int{10^{u} d u}\right)}}$$

Apply the exponential rule $$$\int{a^{u} d u} = \frac{a^{u}}{\ln{\left(a \right)}}$$$ with $$$a=10$$$:

$$\frac{2^{x}}{\ln{\left(2 \right)}} - \frac{5^{x}}{\ln{\left(5 \right)}} + {\color{red}{\int{10^{u} d u}}} = \frac{2^{x}}{\ln{\left(2 \right)}} - \frac{5^{x}}{\ln{\left(5 \right)}} + {\color{red}{\frac{10^{u}}{\ln{\left(10 \right)}}}}$$

回顧一下 $$$u=- x$$$：

$$\frac{2^{x}}{\ln{\left(2 \right)}} - \frac{5^{x}}{\ln{\left(5 \right)}} + \frac{10^{{\color{red}{u}}}}{\ln{\left(10 \right)}} = \frac{2^{x}}{\ln{\left(2 \right)}} - \frac{5^{x}}{\ln{\left(5 \right)}} + \frac{10^{{\color{red}{\left(- x\right)}}}}{\ln{\left(10 \right)}}$$

因此，

$$\int{\left(2^{x} - 5^{x} - 10^{- x}\right)d x} = \frac{2^{x}}{\ln{\left(2 \right)}} - \frac{5^{x}}{\ln{\left(5 \right)}} + \frac{10^{- x}}{\ln{\left(10 \right)}}$$

化簡：

$$\int{\left(2^{x} - 5^{x} - 10^{- x}\right)d x} = \frac{10^{- x} 20^{x}}{\ln{\left(2 \right)}} - \frac{10^{- x} 50^{x}}{\ln{\left(5 \right)}} + \frac{10^{- x}}{\ln{\left(10 \right)}}$$

加上積分常數：

$$\int{\left(2^{x} - 5^{x} - 10^{- x}\right)d x} = \frac{10^{- x} 20^{x}}{\ln{\left(2 \right)}} - \frac{10^{- x} 50^{x}}{\ln{\left(5 \right)}} + \frac{10^{- x}}{\ln{\left(10 \right)}}+C$$

$$$\int \left(2^{x} - 5^{x} - 10^{- x}\right)\, dx = \left(\frac{10^{- x} 20^{x}}{\ln\left(2\right)} - \frac{10^{- x} 50^{x}}{\ln\left(5\right)} + \frac{10^{- x}}{\ln\left(10\right)}\right) + C$$$A