$$$\frac{21 \sin{\left(\pi x \right)}}{2}$$$ 的積分
您的輸入
求$$$\int \frac{21 \sin{\left(\pi x \right)}}{2}\, dx$$$。
解答
套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$，使用 $$$c=\frac{21}{2}$$$ 與 $$$f{\left(x \right)} = \sin{\left(\pi x \right)}$$$：
$${\color{red}{\int{\frac{21 \sin{\left(\pi x \right)}}{2} d x}}} = {\color{red}{\left(\frac{21 \int{\sin{\left(\pi x \right)} d x}}{2}\right)}}$$
令 $$$u=\pi x$$$。
則 $$$du=\left(\pi x\right)^{\prime }dx = \pi dx$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dx = \frac{du}{\pi}$$$。
因此，
$$\frac{21 {\color{red}{\int{\sin{\left(\pi x \right)} d x}}}}{2} = \frac{21 {\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi} d u}}}}{2}$$
套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=\frac{1}{\pi}$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$$$：
$$\frac{21 {\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi} d u}}}}{2} = \frac{21 {\color{red}{\frac{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}{\pi}}}}{2}$$
正弦函數的積分為 $$$\int{\sin{\left(u \right)} d u} = - \cos{\left(u \right)}$$$：
$$\frac{21 {\color{red}{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}}}{2 \pi} = \frac{21 {\color{red}{\left(- \cos{\left(u \right)}\right)}}}{2 \pi}$$
回顧一下 $$$u=\pi x$$$：
$$- \frac{21 \cos{\left({\color{red}{u}} \right)}}{2 \pi} = - \frac{21 \cos{\left({\color{red}{\pi x}} \right)}}{2 \pi}$$
因此，
$$\int{\frac{21 \sin{\left(\pi x \right)}}{2} d x} = - \frac{21 \cos{\left(\pi x \right)}}{2 \pi}$$
加上積分常數：
$$\int{\frac{21 \sin{\left(\pi x \right)}}{2} d x} = - \frac{21 \cos{\left(\pi x \right)}}{2 \pi}+C$$
答案
$$$\int \frac{21 \sin{\left(\pi x \right)}}{2}\, dx = - \frac{21 \cos{\left(\pi x \right)}}{2 \pi} + C$$$A