$$$v^{2} - v$$$ 的積分
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求$$$\int \left(v^{2} - v\right)\, dv$$$。
解答
逐項積分：
$${\color{red}{\int{\left(v^{2} - v\right)d v}}} = {\color{red}{\left(- \int{v d v} + \int{v^{2} d v}\right)}}$$
套用冪次法則 $$$\int v^{n}\, dv = \frac{v^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，以 $$$n=2$$$：
$$- \int{v d v} + {\color{red}{\int{v^{2} d v}}}=- \int{v d v} + {\color{red}{\frac{v^{1 + 2}}{1 + 2}}}=- \int{v d v} + {\color{red}{\left(\frac{v^{3}}{3}\right)}}$$
套用冪次法則 $$$\int v^{n}\, dv = \frac{v^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，以 $$$n=1$$$：
$$\frac{v^{3}}{3} - {\color{red}{\int{v d v}}}=\frac{v^{3}}{3} - {\color{red}{\frac{v^{1 + 1}}{1 + 1}}}=\frac{v^{3}}{3} - {\color{red}{\left(\frac{v^{2}}{2}\right)}}$$
因此，
$$\int{\left(v^{2} - v\right)d v} = \frac{v^{3}}{3} - \frac{v^{2}}{2}$$
化簡：
$$\int{\left(v^{2} - v\right)d v} = \frac{v^{2} \left(2 v - 3\right)}{6}$$
加上積分常數：
$$\int{\left(v^{2} - v\right)d v} = \frac{v^{2} \left(2 v - 3\right)}{6}+C$$
答案
$$$\int \left(v^{2} - v\right)\, dv = \frac{v^{2} \left(2 v - 3\right)}{6} + C$$$A