$$$\frac{- b + x}{\sqrt{- a + x}}$$$ 對 $$$x$$$ 的積分

求$$$\int \frac{- b + x}{\sqrt{- a + x}}\, dx$$$。

將分子改寫為 $$$- b + x=- b + x$$$，並將分式拆分:

$${\color{red}{\int{\frac{- b + x}{\sqrt{- a + x}} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(\sqrt{- a + x} + \frac{a - b}{\sqrt{- a + x}}\right)d x}}}$$

逐項積分：

$${\color{red}{\int{\left(\sqrt{- a + x} + \frac{a - b}{\sqrt{- a + x}}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(\int{\frac{a - b}{\sqrt{- a + x}} d x} + \int{\sqrt{- a + x} d x}\right)}}$$

令 $$$u=- a + x$$$。

則 $$$du=\left(- a + x\right)^{\prime }dx = 1 dx$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dx = du$$$。

因此，

$$\int{\frac{a - b}{\sqrt{- a + x}} d x} + {\color{red}{\int{\sqrt{- a + x} d x}}} = \int{\frac{a - b}{\sqrt{- a + x}} d x} + {\color{red}{\int{\sqrt{u} d u}}}$$

套用冪次法則 $$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，以 $$$n=\frac{1}{2}$$$：

$$\int{\frac{a - b}{\sqrt{- a + x}} d x} + {\color{red}{\int{\sqrt{u} d u}}}=\int{\frac{a - b}{\sqrt{- a + x}} d x} + {\color{red}{\int{u^{\frac{1}{2}} d u}}}=\int{\frac{a - b}{\sqrt{- a + x}} d x} + {\color{red}{\frac{u^{\frac{1}{2} + 1}}{\frac{1}{2} + 1}}}=\int{\frac{a - b}{\sqrt{- a + x}} d x} + {\color{red}{\left(\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}\right)}}$$

回顧一下 $$$u=- a + x$$$：

$$\int{\frac{a - b}{\sqrt{- a + x}} d x} + \frac{2 {\color{red}{u}}^{\frac{3}{2}}}{3} = \int{\frac{a - b}{\sqrt{- a + x}} d x} + \frac{2 {\color{red}{\left(- a + x\right)}}^{\frac{3}{2}}}{3}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$，使用 $$$c=a - b$$$ 與 $$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{\sqrt{- a + x}}$$$：

$$\frac{2 \left(- a + x\right)^{\frac{3}{2}}}{3} + {\color{red}{\int{\frac{a - b}{\sqrt{- a + x}} d x}}} = \frac{2 \left(- a + x\right)^{\frac{3}{2}}}{3} + {\color{red}{\left(a - b\right) \int{\frac{1}{\sqrt{- a + x}} d x}}}$$

令 $$$u=- a + x$$$。

則 $$$du=\left(- a + x\right)^{\prime }dx = 1 dx$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dx = du$$$。

該積分變為

$$\frac{2 \left(- a + x\right)^{\frac{3}{2}}}{3} + \left(a - b\right) {\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{- a + x}} d x}}} = \frac{2 \left(- a + x\right)^{\frac{3}{2}}}{3} + \left(a - b\right) {\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{u}} d u}}}$$

套用冪次法則 $$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，以 $$$n=- \frac{1}{2}$$$：

$$\frac{2 \left(- a + x\right)^{\frac{3}{2}}}{3} + \left(a - b\right) {\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{u}} d u}}}=\frac{2 \left(- a + x\right)^{\frac{3}{2}}}{3} + \left(a - b\right) {\color{red}{\int{u^{- \frac{1}{2}} d u}}}=\frac{2 \left(- a + x\right)^{\frac{3}{2}}}{3} + \left(a - b\right) {\color{red}{\frac{u^{- \frac{1}{2} + 1}}{- \frac{1}{2} + 1}}}=\frac{2 \left(- a + x\right)^{\frac{3}{2}}}{3} + \left(a - b\right) {\color{red}{\left(2 u^{\frac{1}{2}}\right)}}=\frac{2 \left(- a + x\right)^{\frac{3}{2}}}{3} + \left(a - b\right) {\color{red}{\left(2 \sqrt{u}\right)}}$$

回顧一下 $$$u=- a + x$$$：

$$\frac{2 \left(- a + x\right)^{\frac{3}{2}}}{3} + 2 \left(a - b\right) \sqrt{{\color{red}{u}}} = \frac{2 \left(- a + x\right)^{\frac{3}{2}}}{3} + 2 \left(a - b\right) \sqrt{{\color{red}{\left(- a + x\right)}}}$$

因此，

$$\int{\frac{- b + x}{\sqrt{- a + x}} d x} = \frac{2 \left(- a + x\right)^{\frac{3}{2}}}{3} + 2 \sqrt{- a + x} \left(a - b\right)$$

化簡：

$$\int{\frac{- b + x}{\sqrt{- a + x}} d x} = \frac{2 \sqrt{- a + x} \left(2 a - 3 b + x\right)}{3}$$

加上積分常數：

$$\int{\frac{- b + x}{\sqrt{- a + x}} d x} = \frac{2 \sqrt{- a + x} \left(2 a - 3 b + x\right)}{3}+C$$

$$$\int \frac{- b + x}{\sqrt{- a + x}}\, dx = \frac{2 \sqrt{- a + x} \left(2 a - 3 b + x\right)}{3} + C$$$A