$$$\frac{1}{\sqrt{a - x^{2}}}$$$ 對 $$$x$$$ 的積分

求$$$\int \frac{1}{\sqrt{a - x^{2}}}\, dx$$$。

令 $$$x=\sqrt{a} \sin{\left(u \right)}$$$。

則 $$$dx=\left(\sqrt{a} \sin{\left(u \right)}\right)^{\prime }du = \sqrt{a} \cos{\left(u \right)} du$$$（步驟見»）。

此外，由此可得 $$$u=\operatorname{asin}{\left(\frac{x}{\sqrt{a}} \right)}$$$。

因此，

$$$\frac{1}{\sqrt{a - x^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{- a \sin^{2}{\left( u \right)} + a}}$$$

使用恆等式 $$$1 - \sin^{2}{\left( u \right)} = \cos^{2}{\left( u \right)}$$$：

$$$\frac{1}{\sqrt{- a \sin^{2}{\left( u \right)} + a}}=\frac{1}{\sqrt{a} \sqrt{1 - \sin^{2}{\left( u \right)}}}=\frac{1}{\sqrt{a} \sqrt{\cos^{2}{\left( u \right)}}}$$$

假設 $$$\cos{\left( u \right)} \ge 0$$$，可得如下：

$$$\frac{1}{\sqrt{a} \sqrt{\cos^{2}{\left( u \right)}}} = \frac{1}{\sqrt{a} \cos{\left( u \right)}}$$$

因此，

$${\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{a - x^{2}}} d x}}} = {\color{red}{\int{1 d u}}}$$

配合 $$$c=1$$$，應用常數法則 $$$\int c\, du = c u$$$：

$${\color{red}{\int{1 d u}}} = {\color{red}{u}}$$

回顧一下 $$$u=\operatorname{asin}{\left(\frac{x}{\sqrt{a}} \right)}$$$：

$${\color{red}{u}} = {\color{red}{\operatorname{asin}{\left(\frac{x}{\sqrt{a}} \right)}}}$$

因此，

$$\int{\frac{1}{\sqrt{a - x^{2}}} d x} = \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{\sqrt{a}} \right)}$$

加上積分常數：

$$\int{\frac{1}{\sqrt{a - x^{2}}} d x} = \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{\sqrt{a}} \right)}+C$$

$$$\int \frac{1}{\sqrt{a - x^{2}}}\, dx = \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{\sqrt{a}} \right)} + C$$$A