$$$\frac{x}{8} - 5$$$ 的積分
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求$$$\int \left(\frac{x}{8} - 5\right)\, dx$$$。
解答
逐項積分：
$${\color{red}{\int{\left(\frac{x}{8} - 5\right)d x}}} = {\color{red}{\left(- \int{5 d x} + \int{\frac{x}{8} d x}\right)}}$$
配合 $$$c=5$$$，應用常數法則 $$$\int c\, dx = c x$$$：
$$\int{\frac{x}{8} d x} - {\color{red}{\int{5 d x}}} = \int{\frac{x}{8} d x} - {\color{red}{\left(5 x\right)}}$$
套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$，使用 $$$c=\frac{1}{8}$$$ 與 $$$f{\left(x \right)} = x$$$：
$$- 5 x + {\color{red}{\int{\frac{x}{8} d x}}} = - 5 x + {\color{red}{\left(\frac{\int{x d x}}{8}\right)}}$$
套用冪次法則 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，以 $$$n=1$$$：
$$- 5 x + \frac{{\color{red}{\int{x d x}}}}{8}=- 5 x + \frac{{\color{red}{\frac{x^{1 + 1}}{1 + 1}}}}{8}=- 5 x + \frac{{\color{red}{\left(\frac{x^{2}}{2}\right)}}}{8}$$
因此，
$$\int{\left(\frac{x}{8} - 5\right)d x} = \frac{x^{2}}{16} - 5 x$$
化簡：
$$\int{\left(\frac{x}{8} - 5\right)d x} = \frac{x \left(x - 80\right)}{16}$$
加上積分常數：
$$\int{\left(\frac{x}{8} - 5\right)d x} = \frac{x \left(x - 80\right)}{16}+C$$
答案
$$$\int \left(\frac{x}{8} - 5\right)\, dx = \frac{x \left(x - 80\right)}{16} + C$$$A