$$$\frac{e^{3 x}}{3}$$$ 的積分

求$$$\int \frac{e^{3 x}}{3}\, dx$$$。

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$，使用 $$$c=\frac{1}{3}$$$ 與 $$$f{\left(x \right)} = e^{3 x}$$$：

$${\color{red}{\int{\frac{e^{3 x}}{3} d x}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{e^{3 x} d x}}{3}\right)}}$$

令 $$$u=3 x$$$。

則 $$$du=\left(3 x\right)^{\prime }dx = 3 dx$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dx = \frac{du}{3}$$$。

所以，

$$\frac{{\color{red}{\int{e^{3 x} d x}}}}{3} = \frac{{\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{3} d u}}}}{3}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=\frac{1}{3}$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$：

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{3} d u}}}}{3} = \frac{{\color{red}{\left(\frac{\int{e^{u} d u}}{3}\right)}}}{3}$$

指數函數的積分為 $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$：

$$\frac{{\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{9} = \frac{{\color{red}{e^{u}}}}{9}$$

回顧一下 $$$u=3 x$$$：

$$\frac{e^{{\color{red}{u}}}}{9} = \frac{e^{{\color{red}{\left(3 x\right)}}}}{9}$$

因此，

$$\int{\frac{e^{3 x}}{3} d x} = \frac{e^{3 x}}{9}$$

加上積分常數：

$$\int{\frac{e^{3 x}}{3} d x} = \frac{e^{3 x}}{9}+C$$

$$$\int \frac{e^{3 x}}{3}\, dx = \frac{e^{3 x}}{9} + C$$$A