$$$\frac{1}{x \ln\left(\frac{c}{x}\right)}$$$ 對 $$$x$$$ 的積分

求$$$\int \frac{1}{x \ln\left(\frac{c}{x}\right)}\, dx$$$。

令 $$$u=\frac{c}{x}$$$。

則 $$$du=\left(\frac{c}{x}\right)^{\prime }dx = - \frac{c}{x^{2}} dx$$$ (步驟見»)，並可得 $$$\frac{dx}{x^{2}} = - \frac{du}{c}$$$。

該積分變為

$${\color{red}{\int{\frac{1}{x \ln{\left(\frac{c}{x} \right)}} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{u \ln{\left(u \right)}}\right)d u}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=-1$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{u \ln{\left(u \right)}}$$$：

$${\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{u \ln{\left(u \right)}}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \int{\frac{1}{u \ln{\left(u \right)}} d u}\right)}}$$

令 $$$v=\ln{\left(u \right)}$$$。

則 $$$dv=\left(\ln{\left(u \right)}\right)^{\prime }du = \frac{du}{u}$$$ (步驟見»)，並可得 $$$\frac{du}{u} = dv$$$。

該積分變為

$$- {\color{red}{\int{\frac{1}{u \ln{\left(u \right)}} d u}}} = - {\color{red}{\int{\frac{1}{v} d v}}}$$

$$$\frac{1}{v}$$$ 的積分是 $$$\int{\frac{1}{v} d v} = \ln{\left(\left|{v}\right| \right)}$$$：

$$- {\color{red}{\int{\frac{1}{v} d v}}} = - {\color{red}{\ln{\left(\left|{v}\right| \right)}}}$$

回顧一下 $$$v=\ln{\left(u \right)}$$$：

$$- \ln{\left(\left|{{\color{red}{v}}}\right| \right)} = - \ln{\left(\left|{{\color{red}{\ln{\left(u \right)}}}}\right| \right)}$$

回顧一下 $$$u=\frac{c}{x}$$$：

$$- \ln{\left(\left|{\ln{\left({\color{red}{u}} \right)}}\right| \right)} = - \ln{\left(\left|{\ln{\left({\color{red}{\frac{c}{x}}} \right)}}\right| \right)}$$

因此，

$$\int{\frac{1}{x \ln{\left(\frac{c}{x} \right)}} d x} = - \ln{\left(\left|{\ln{\left(\frac{c}{x} \right)}}\right| \right)}$$

加上積分常數：

$$\int{\frac{1}{x \ln{\left(\frac{c}{x} \right)}} d x} = - \ln{\left(\left|{\ln{\left(\frac{c}{x} \right)}}\right| \right)}+C$$

$$$\int \frac{1}{x \ln\left(\frac{c}{x}\right)}\, dx = - \ln\left(\left|{\ln\left(\frac{c}{x}\right)}\right|\right) + C$$$A