$$$\frac{\sqrt{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2 \sqrt{\pi}}$$$ 的積分

求$$$\int \frac{\sqrt{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2 \sqrt{\pi}}\, dx$$$。

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$，使用 $$$c=\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{\pi}}$$$ 與 $$$f{\left(x \right)} = e^{- \frac{x^{2}}{2}}$$$：

$${\color{red}{\int{\frac{\sqrt{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2 \sqrt{\pi}} d x}}} = {\color{red}{\left(\frac{\sqrt{2} \int{e^{- \frac{x^{2}}{2}} d x}}{2 \sqrt{\pi}}\right)}}$$

令 $$$u=\frac{\sqrt{2} x}{2}$$$。

則 $$$du=\left(\frac{\sqrt{2} x}{2}\right)^{\prime }dx = \frac{\sqrt{2}}{2} dx$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dx = \sqrt{2} du$$$。

因此，

$$\frac{\sqrt{2} {\color{red}{\int{e^{- \frac{x^{2}}{2}} d x}}}}{2 \sqrt{\pi}} = \frac{\sqrt{2} {\color{red}{\int{\sqrt{2} e^{- u^{2}} d u}}}}{2 \sqrt{\pi}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=\sqrt{2}$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = e^{- u^{2}}$$$：

$$\frac{\sqrt{2} {\color{red}{\int{\sqrt{2} e^{- u^{2}} d u}}}}{2 \sqrt{\pi}} = \frac{\sqrt{2} {\color{red}{\sqrt{2} \int{e^{- u^{2}} d u}}}}{2 \sqrt{\pi}}$$

此積分（誤差函數）不存在閉式表示：

$$\frac{{\color{red}{\int{e^{- u^{2}} d u}}}}{\sqrt{\pi}} = \frac{{\color{red}{\left(\frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erf}{\left(u \right)}}{2}\right)}}}{\sqrt{\pi}}$$

回顧一下 $$$u=\frac{\sqrt{2} x}{2}$$$：

$$\frac{\operatorname{erf}{\left({\color{red}{u}} \right)}}{2} = \frac{\operatorname{erf}{\left({\color{red}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{2}\right)}} \right)}}{2}$$

因此，

$$\int{\frac{\sqrt{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2 \sqrt{\pi}} d x} = \frac{\operatorname{erf}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{2} \right)}}{2}$$

加上積分常數：

$$\int{\frac{\sqrt{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2 \sqrt{\pi}} d x} = \frac{\operatorname{erf}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{2} \right)}}{2}+C$$

$$$\int \frac{\sqrt{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2 \sqrt{\pi}}\, dx = \frac{\operatorname{erf}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{2} \right)}}{2} + C$$$A