$$$\frac{1}{\left(a - x\right)^{3}}$$$ 對 $$$x$$$ 的積分

求$$$\int \frac{1}{\left(a - x\right)^{3}}\, dx$$$。

令 $$$u=a - x$$$。

則 $$$du=\left(a - x\right)^{\prime }dx = - dx$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dx = - du$$$。

所以，

$${\color{red}{\int{\frac{1}{\left(a - x\right)^{3}} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{u^{3}}\right)d u}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=-1$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{u^{3}}$$$：

$${\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{u^{3}}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \int{\frac{1}{u^{3}} d u}\right)}}$$

套用冪次法則 $$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，以 $$$n=-3$$$：

$$- {\color{red}{\int{\frac{1}{u^{3}} d u}}}=- {\color{red}{\int{u^{-3} d u}}}=- {\color{red}{\frac{u^{-3 + 1}}{-3 + 1}}}=- {\color{red}{\left(- \frac{u^{-2}}{2}\right)}}=- {\color{red}{\left(- \frac{1}{2 u^{2}}\right)}}$$

回顧一下 $$$u=a - x$$$：

$$\frac{{\color{red}{u}}^{-2}}{2} = \frac{{\color{red}{\left(a - x\right)}}^{-2}}{2}$$

因此，

$$\int{\frac{1}{\left(a - x\right)^{3}} d x} = \frac{1}{2 \left(a - x\right)^{2}}$$

加上積分常數：

$$\int{\frac{1}{\left(a - x\right)^{3}} d x} = \frac{1}{2 \left(a - x\right)^{2}}+C$$

$$$\int \frac{1}{\left(a - x\right)^{3}}\, dx = \frac{1}{2 \left(a - x\right)^{2}} + C$$$A