$$$\frac{25}{4 \left(\frac{3}{2} - x\right)^{2}}$$$ 的積分
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求$$$\int \frac{25}{4 \left(\frac{3}{2} - x\right)^{2}}\, dx$$$。
解答
簡化被積函數:
$${\color{red}{\int{\frac{25}{4 \left(\frac{3}{2} - x\right)^{2}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{25}{4 x^{2} - 12 x + 9} d x}}}$$
套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$，使用 $$$c=25$$$ 與 $$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{4 x^{2} - 12 x + 9}$$$：
$${\color{red}{\int{\frac{25}{4 x^{2} - 12 x + 9} d x}}} = {\color{red}{\left(25 \int{\frac{1}{4 x^{2} - 12 x + 9} d x}\right)}}$$
配方法 (步驟見 »): $$$4 x^{2} - 12 x + 9 = \left(2 x - 3\right)^{2}$$$:
$$25 {\color{red}{\int{\frac{1}{4 x^{2} - 12 x + 9} d x}}} = 25 {\color{red}{\int{\frac{1}{\left(2 x - 3\right)^{2}} d x}}}$$
令 $$$u=2 x - 3$$$。
則 $$$du=\left(2 x - 3\right)^{\prime }dx = 2 dx$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dx = \frac{du}{2}$$$。
該積分可改寫為
$$25 {\color{red}{\int{\frac{1}{\left(2 x - 3\right)^{2}} d x}}} = 25 {\color{red}{\int{\frac{1}{2 u^{2}} d u}}}$$
套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=\frac{1}{2}$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{u^{2}}$$$：
$$25 {\color{red}{\int{\frac{1}{2 u^{2}} d u}}} = 25 {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{u^{2}} d u}}{2}\right)}}$$
套用冪次法則 $$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，以 $$$n=-2$$$：
$$\frac{25 {\color{red}{\int{\frac{1}{u^{2}} d u}}}}{2}=\frac{25 {\color{red}{\int{u^{-2} d u}}}}{2}=\frac{25 {\color{red}{\frac{u^{-2 + 1}}{-2 + 1}}}}{2}=\frac{25 {\color{red}{\left(- u^{-1}\right)}}}{2}=\frac{25 {\color{red}{\left(- \frac{1}{u}\right)}}}{2}$$
回顧一下 $$$u=2 x - 3$$$：
$$- \frac{25 {\color{red}{u}}^{-1}}{2} = - \frac{25 {\color{red}{\left(2 x - 3\right)}}^{-1}}{2}$$
因此，
$$\int{\frac{25}{4 \left(\frac{3}{2} - x\right)^{2}} d x} = - \frac{25}{2 \left(2 x - 3\right)}$$
化簡：
$$\int{\frac{25}{4 \left(\frac{3}{2} - x\right)^{2}} d x} = - \frac{25}{4 x - 6}$$
加上積分常數：
$$\int{\frac{25}{4 \left(\frac{3}{2} - x\right)^{2}} d x} = - \frac{25}{4 x - 6}+C$$
答案
$$$\int \frac{25}{4 \left(\frac{3}{2} - x\right)^{2}}\, dx = - \frac{25}{4 x - 6} + C$$$A