$$$\frac{e^{\frac{x}{200}}}{2}$$$ 的積分

求$$$\int \frac{e^{\frac{x}{200}}}{2}\, dx$$$。

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$，使用 $$$c=\frac{1}{2}$$$ 與 $$$f{\left(x \right)} = e^{\frac{x}{200}}$$$：

$${\color{red}{\int{\frac{e^{\frac{x}{200}}}{2} d x}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{e^{\frac{x}{200}} d x}}{2}\right)}}$$

令 $$$u=\frac{x}{200}$$$。

則 $$$du=\left(\frac{x}{200}\right)^{\prime }dx = \frac{dx}{200}$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dx = 200 du$$$。

因此，

$$\frac{{\color{red}{\int{e^{\frac{x}{200}} d x}}}}{2} = \frac{{\color{red}{\int{200 e^{u} d u}}}}{2}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=200$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$：

$$\frac{{\color{red}{\int{200 e^{u} d u}}}}{2} = \frac{{\color{red}{\left(200 \int{e^{u} d u}\right)}}}{2}$$

指數函數的積分為 $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$：

$$100 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = 100 {\color{red}{e^{u}}}$$

回顧一下 $$$u=\frac{x}{200}$$$：

$$100 e^{{\color{red}{u}}} = 100 e^{{\color{red}{\left(\frac{x}{200}\right)}}}$$

因此，

$$\int{\frac{e^{\frac{x}{200}}}{2} d x} = 100 e^{\frac{x}{200}}$$

加上積分常數：

$$\int{\frac{e^{\frac{x}{200}}}{2} d x} = 100 e^{\frac{x}{200}}+C$$

$$$\int \frac{e^{\frac{x}{200}}}{2}\, dx = 100 e^{\frac{x}{200}} + C$$$A