$$$\frac{3 t^{2}}{1000} - \frac{t}{125}$$$ 的積分

求$$$\int \left(\frac{3 t^{2}}{1000} - \frac{t}{125}\right)\, dt$$$。

逐項積分：

$${\color{red}{\int{\left(\frac{3 t^{2}}{1000} - \frac{t}{125}\right)d t}}} = {\color{red}{\left(- \int{\frac{t}{125} d t} + \int{\frac{3 t^{2}}{1000} d t}\right)}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(t \right)}\, dt = c \int f{\left(t \right)}\, dt$$$，使用 $$$c=\frac{1}{125}$$$ 與 $$$f{\left(t \right)} = t$$$：

$$\int{\frac{3 t^{2}}{1000} d t} - {\color{red}{\int{\frac{t}{125} d t}}} = \int{\frac{3 t^{2}}{1000} d t} - {\color{red}{\left(\frac{\int{t d t}}{125}\right)}}$$

套用冪次法則 $$$\int t^{n}\, dt = \frac{t^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，以 $$$n=1$$$：

$$\int{\frac{3 t^{2}}{1000} d t} - \frac{{\color{red}{\int{t d t}}}}{125}=\int{\frac{3 t^{2}}{1000} d t} - \frac{{\color{red}{\frac{t^{1 + 1}}{1 + 1}}}}{125}=\int{\frac{3 t^{2}}{1000} d t} - \frac{{\color{red}{\left(\frac{t^{2}}{2}\right)}}}{125}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(t \right)}\, dt = c \int f{\left(t \right)}\, dt$$$，使用 $$$c=\frac{3}{1000}$$$ 與 $$$f{\left(t \right)} = t^{2}$$$：

$$- \frac{t^{2}}{250} + {\color{red}{\int{\frac{3 t^{2}}{1000} d t}}} = - \frac{t^{2}}{250} + {\color{red}{\left(\frac{3 \int{t^{2} d t}}{1000}\right)}}$$

套用冪次法則 $$$\int t^{n}\, dt = \frac{t^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，以 $$$n=2$$$：

$$- \frac{t^{2}}{250} + \frac{3 {\color{red}{\int{t^{2} d t}}}}{1000}=- \frac{t^{2}}{250} + \frac{3 {\color{red}{\frac{t^{1 + 2}}{1 + 2}}}}{1000}=- \frac{t^{2}}{250} + \frac{3 {\color{red}{\left(\frac{t^{3}}{3}\right)}}}{1000}$$

因此，

$$\int{\left(\frac{3 t^{2}}{1000} - \frac{t}{125}\right)d t} = \frac{t^{3}}{1000} - \frac{t^{2}}{250}$$

化簡：

$$\int{\left(\frac{3 t^{2}}{1000} - \frac{t}{125}\right)d t} = \frac{t^{2} \left(t - 4\right)}{1000}$$

加上積分常數：

$$\int{\left(\frac{3 t^{2}}{1000} - \frac{t}{125}\right)d t} = \frac{t^{2} \left(t - 4\right)}{1000}+C$$

$$$\int \left(\frac{3 t^{2}}{1000} - \frac{t}{125}\right)\, dt = \frac{t^{2} \left(t - 4\right)}{1000} + C$$$A