$$$- \sin{\left(3 a \right)}$$$ 的積分

求$$$\int \left(- \sin{\left(3 a \right)}\right)\, da$$$。

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(a \right)}\, da = c \int f{\left(a \right)}\, da$$$，使用 $$$c=-1$$$ 與 $$$f{\left(a \right)} = \sin{\left(3 a \right)}$$$：

$${\color{red}{\int{\left(- \sin{\left(3 a \right)}\right)d a}}} = {\color{red}{\left(- \int{\sin{\left(3 a \right)} d a}\right)}}$$

令 $$$u=3 a$$$。

則 $$$du=\left(3 a\right)^{\prime }da = 3 da$$$ (步驟見»)，並可得 $$$da = \frac{du}{3}$$$。

該積分可改寫為

$$- {\color{red}{\int{\sin{\left(3 a \right)} d a}}} = - {\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{3} d u}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=\frac{1}{3}$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$$$：

$$- {\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{3} d u}}} = - {\color{red}{\left(\frac{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}{3}\right)}}$$

正弦函數的積分為 $$$\int{\sin{\left(u \right)} d u} = - \cos{\left(u \right)}$$$：

$$- \frac{{\color{red}{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}}}{3} = - \frac{{\color{red}{\left(- \cos{\left(u \right)}\right)}}}{3}$$

回顧一下 $$$u=3 a$$$：

$$\frac{\cos{\left({\color{red}{u}} \right)}}{3} = \frac{\cos{\left({\color{red}{\left(3 a\right)}} \right)}}{3}$$

因此，

$$\int{\left(- \sin{\left(3 a \right)}\right)d a} = \frac{\cos{\left(3 a \right)}}{3}$$

加上積分常數：

$$\int{\left(- \sin{\left(3 a \right)}\right)d a} = \frac{\cos{\left(3 a \right)}}{3}+C$$

$$$\int \left(- \sin{\left(3 a \right)}\right)\, da = \frac{\cos{\left(3 a \right)}}{3} + C$$$A