$$$- e^{- y}$$$ 的積分

求$$$\int \left(- e^{- y}\right)\, dy$$$。

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(y \right)}\, dy = c \int f{\left(y \right)}\, dy$$$，使用 $$$c=-1$$$ 與 $$$f{\left(y \right)} = e^{- y}$$$：

$${\color{red}{\int{\left(- e^{- y}\right)d y}}} = {\color{red}{\left(- \int{e^{- y} d y}\right)}}$$

令 $$$u=- y$$$。

則 $$$du=\left(- y\right)^{\prime }dy = - dy$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dy = - du$$$。

因此，

$$- {\color{red}{\int{e^{- y} d y}}} = - {\color{red}{\int{\left(- e^{u}\right)d u}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=-1$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$：

$$- {\color{red}{\int{\left(- e^{u}\right)d u}}} = - {\color{red}{\left(- \int{e^{u} d u}\right)}}$$

指數函數的積分為 $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$：

$${\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = {\color{red}{e^{u}}}$$

回顧一下 $$$u=- y$$$：

$$e^{{\color{red}{u}}} = e^{{\color{red}{\left(- y\right)}}}$$

因此，

$$\int{\left(- e^{- y}\right)d y} = e^{- y}$$

加上積分常數：

$$\int{\left(- e^{- y}\right)d y} = e^{- y}+C$$

$$$\int \left(- e^{- y}\right)\, dy = e^{- y} + C$$$A