$$$- 7 e^{- 7 x}$$$ 的積分

求$$$\int \left(- 7 e^{- 7 x}\right)\, dx$$$。

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$，使用 $$$c=-7$$$ 與 $$$f{\left(x \right)} = e^{- 7 x}$$$：

$${\color{red}{\int{\left(- 7 e^{- 7 x}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(- 7 \int{e^{- 7 x} d x}\right)}}$$

令 $$$u=- 7 x$$$。

則 $$$du=\left(- 7 x\right)^{\prime }dx = - 7 dx$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dx = - \frac{du}{7}$$$。

所以，

$$- 7 {\color{red}{\int{e^{- 7 x} d x}}} = - 7 {\color{red}{\int{\left(- \frac{e^{u}}{7}\right)d u}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=- \frac{1}{7}$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$：

$$- 7 {\color{red}{\int{\left(- \frac{e^{u}}{7}\right)d u}}} = - 7 {\color{red}{\left(- \frac{\int{e^{u} d u}}{7}\right)}}$$

指數函數的積分為 $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$：

$${\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = {\color{red}{e^{u}}}$$

回顧一下 $$$u=- 7 x$$$：

$$e^{{\color{red}{u}}} = e^{{\color{red}{\left(- 7 x\right)}}}$$

因此，

$$\int{\left(- 7 e^{- 7 x}\right)d x} = e^{- 7 x}$$

加上積分常數：

$$\int{\left(- 7 e^{- 7 x}\right)d x} = e^{- 7 x}+C$$

$$$\int \left(- 7 e^{- 7 x}\right)\, dx = e^{- 7 x} + C$$$A