$$$- 6 x \cos{\left(4 x \right)}$$$ 的積分

求$$$\int \left(- 6 x \cos{\left(4 x \right)}\right)\, dx$$$。

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$，使用 $$$c=-6$$$ 與 $$$f{\left(x \right)} = x \cos{\left(4 x \right)}$$$：

$${\color{red}{\int{\left(- 6 x \cos{\left(4 x \right)}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(- 6 \int{x \cos{\left(4 x \right)} d x}\right)}}$$

對於積分 $$$\int{x \cos{\left(4 x \right)} d x}$$$，使用分部積分法 $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$。

令 $$$\operatorname{u}=x$$$ 與 $$$\operatorname{dv}=\cos{\left(4 x \right)} dx$$$。

則 $$$\operatorname{du}=\left(x\right)^{\prime }dx=1 dx$$$（步驟見 »），且 $$$\operatorname{v}=\int{\cos{\left(4 x \right)} d x}=\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$$$（步驟見 »）。

該積分可改寫為

$$- 6 {\color{red}{\int{x \cos{\left(4 x \right)} d x}}}=- 6 {\color{red}{\left(x \cdot \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}-\int{\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4} \cdot 1 d x}\right)}}=- 6 {\color{red}{\left(\frac{x \sin{\left(4 x \right)}}{4} - \int{\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4} d x}\right)}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$，使用 $$$c=\frac{1}{4}$$$ 與 $$$f{\left(x \right)} = \sin{\left(4 x \right)}$$$：

$$- \frac{3 x \sin{\left(4 x \right)}}{2} + 6 {\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4} d x}}} = - \frac{3 x \sin{\left(4 x \right)}}{2} + 6 {\color{red}{\left(\frac{\int{\sin{\left(4 x \right)} d x}}{4}\right)}}$$

令 $$$u=4 x$$$。

則 $$$du=\left(4 x\right)^{\prime }dx = 4 dx$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dx = \frac{du}{4}$$$。

該積分變為

$$- \frac{3 x \sin{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{3 {\color{red}{\int{\sin{\left(4 x \right)} d x}}}}{2} = - \frac{3 x \sin{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{3 {\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{4} d u}}}}{2}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=\frac{1}{4}$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$$$：

$$- \frac{3 x \sin{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{3 {\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{4} d u}}}}{2} = - \frac{3 x \sin{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{3 {\color{red}{\left(\frac{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}{4}\right)}}}{2}$$

正弦函數的積分為 $$$\int{\sin{\left(u \right)} d u} = - \cos{\left(u \right)}$$$：

$$- \frac{3 x \sin{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{3 {\color{red}{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}}}{8} = - \frac{3 x \sin{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{3 {\color{red}{\left(- \cos{\left(u \right)}\right)}}}{8}$$

回顧一下 $$$u=4 x$$$：

$$- \frac{3 x \sin{\left(4 x \right)}}{2} - \frac{3 \cos{\left({\color{red}{u}} \right)}}{8} = - \frac{3 x \sin{\left(4 x \right)}}{2} - \frac{3 \cos{\left({\color{red}{\left(4 x\right)}} \right)}}{8}$$

因此，

$$\int{\left(- 6 x \cos{\left(4 x \right)}\right)d x} = - \frac{3 x \sin{\left(4 x \right)}}{2} - \frac{3 \cos{\left(4 x \right)}}{8}$$

化簡：

$$\int{\left(- 6 x \cos{\left(4 x \right)}\right)d x} = - \frac{3 \left(4 x \sin{\left(4 x \right)} + \cos{\left(4 x \right)}\right)}{8}$$

加上積分常數：

$$\int{\left(- 6 x \cos{\left(4 x \right)}\right)d x} = - \frac{3 \left(4 x \sin{\left(4 x \right)} + \cos{\left(4 x \right)}\right)}{8}+C$$

$$$\int \left(- 6 x \cos{\left(4 x \right)}\right)\, dx = - \frac{3 \left(4 x \sin{\left(4 x \right)} + \cos{\left(4 x \right)}\right)}{8} + C$$$A