$$$- 6 \ln\left(- 2 x\right)$$$ 的積分

求$$$\int \left(- 6 \ln\left(- 2 x\right)\right)\, dx$$$。

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$，使用 $$$c=-6$$$ 與 $$$f{\left(x \right)} = \ln{\left(- 2 x \right)}$$$：

$${\color{red}{\int{\left(- 6 \ln{\left(- 2 x \right)}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(- 6 \int{\ln{\left(- 2 x \right)} d x}\right)}}$$

令 $$$u=- 2 x$$$。

則 $$$du=\left(- 2 x\right)^{\prime }dx = - 2 dx$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dx = - \frac{du}{2}$$$。

所以，

$$- 6 {\color{red}{\int{\ln{\left(- 2 x \right)} d x}}} = - 6 {\color{red}{\int{\left(- \frac{\ln{\left(u \right)}}{2}\right)d u}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=- \frac{1}{2}$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = \ln{\left(u \right)}$$$：

$$- 6 {\color{red}{\int{\left(- \frac{\ln{\left(u \right)}}{2}\right)d u}}} = - 6 {\color{red}{\left(- \frac{\int{\ln{\left(u \right)} d u}}{2}\right)}}$$

對於積分 $$$\int{\ln{\left(u \right)} d u}$$$，使用分部積分法 $$$\int \operatorname{\kappa} \operatorname{dv} = \operatorname{\kappa}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{d\kappa}$$$。

令 $$$\operatorname{\kappa}=\ln{\left(u \right)}$$$ 與 $$$\operatorname{dv}=du$$$。

則 $$$\operatorname{d\kappa}=\left(\ln{\left(u \right)}\right)^{\prime }du=\frac{du}{u}$$$（步驟見 »），且 $$$\operatorname{v}=\int{1 d u}=u$$$（步驟見 »）。

該積分可改寫為

$$3 {\color{red}{\int{\ln{\left(u \right)} d u}}}=3 {\color{red}{\left(\ln{\left(u \right)} \cdot u-\int{u \cdot \frac{1}{u} d u}\right)}}=3 {\color{red}{\left(u \ln{\left(u \right)} - \int{1 d u}\right)}}$$

配合 $$$c=1$$$，應用常數法則 $$$\int c\, du = c u$$$：

$$3 u \ln{\left(u \right)} - 3 {\color{red}{\int{1 d u}}} = 3 u \ln{\left(u \right)} - 3 {\color{red}{u}}$$

回顧一下 $$$u=- 2 x$$$：

$$- 3 {\color{red}{u}} + 3 {\color{red}{u}} \ln{\left({\color{red}{u}} \right)} = - 3 {\color{red}{\left(- 2 x\right)}} + 3 {\color{red}{\left(- 2 x\right)}} \ln{\left({\color{red}{\left(- 2 x\right)}} \right)}$$

因此，

$$\int{\left(- 6 \ln{\left(- 2 x \right)}\right)d x} = - 6 x \ln{\left(- 2 x \right)} + 6 x$$

化簡：

$$\int{\left(- 6 \ln{\left(- 2 x \right)}\right)d x} = 6 x \left(- \ln{\left(- x \right)} - \ln{\left(2 \right)} + 1\right)$$

加上積分常數：

$$\int{\left(- 6 \ln{\left(- 2 x \right)}\right)d x} = 6 x \left(- \ln{\left(- x \right)} - \ln{\left(2 \right)} + 1\right)+C$$

$$$\int \left(- 6 \ln\left(- 2 x\right)\right)\, dx = 6 x \left(- \ln\left(- x\right) - \ln\left(2\right) + 1\right) + C$$$A