$$$- 3 \sin{\left(\frac{x}{3} \right)}$$$ 的積分
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求$$$\int \left(- 3 \sin{\left(\frac{x}{3} \right)}\right)\, dx$$$。
解答
套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$，使用 $$$c=-3$$$ 與 $$$f{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{x}{3} \right)}$$$：
$${\color{red}{\int{\left(- 3 \sin{\left(\frac{x}{3} \right)}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(- 3 \int{\sin{\left(\frac{x}{3} \right)} d x}\right)}}$$
令 $$$u=\frac{x}{3}$$$。
則 $$$du=\left(\frac{x}{3}\right)^{\prime }dx = \frac{dx}{3}$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dx = 3 du$$$。
所以，
$$- 3 {\color{red}{\int{\sin{\left(\frac{x}{3} \right)} d x}}} = - 3 {\color{red}{\int{3 \sin{\left(u \right)} d u}}}$$
套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=3$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$$$：
$$- 3 {\color{red}{\int{3 \sin{\left(u \right)} d u}}} = - 3 {\color{red}{\left(3 \int{\sin{\left(u \right)} d u}\right)}}$$
正弦函數的積分為 $$$\int{\sin{\left(u \right)} d u} = - \cos{\left(u \right)}$$$：
$$- 9 {\color{red}{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}} = - 9 {\color{red}{\left(- \cos{\left(u \right)}\right)}}$$
回顧一下 $$$u=\frac{x}{3}$$$：
$$9 \cos{\left({\color{red}{u}} \right)} = 9 \cos{\left({\color{red}{\left(\frac{x}{3}\right)}} \right)}$$
因此，
$$\int{\left(- 3 \sin{\left(\frac{x}{3} \right)}\right)d x} = 9 \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}$$
加上積分常數：
$$\int{\left(- 3 \sin{\left(\frac{x}{3} \right)}\right)d x} = 9 \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}+C$$
答案
$$$\int \left(- 3 \sin{\left(\frac{x}{3} \right)}\right)\, dx = 9 \cos{\left(\frac{x}{3} \right)} + C$$$A