$$$- \frac{1}{\sqrt{16 - 4 x^{2}}}$$$ 的積分

求$$$\int \left(- \frac{1}{\sqrt{16 - 4 x^{2}}}\right)\, dx$$$。

簡化被積函數:

$${\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{\sqrt{16 - 4 x^{2}}}\right)d x}}} = {\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{2 \sqrt{4 - x^{2}}}\right)d x}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$，使用 $$$c=- \frac{1}{2}$$$ 與 $$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{\sqrt{4 - x^{2}}}$$$：

$${\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{2 \sqrt{4 - x^{2}}}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(- \frac{\int{\frac{1}{\sqrt{4 - x^{2}}} d x}}{2}\right)}}$$

令 $$$x=2 \sin{\left(u \right)}$$$。

則 $$$dx=\left(2 \sin{\left(u \right)}\right)^{\prime }du = 2 \cos{\left(u \right)} du$$$（步驟見»）。

此外，由此可得 $$$u=\operatorname{asin}{\left(\frac{x}{2} \right)}$$$。

所以，

$$$\frac{1}{\sqrt{4 - x^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{4 - 4 \sin^{2}{\left( u \right)}}}$$$

使用恆等式 $$$1 - \sin^{2}{\left( u \right)} = \cos^{2}{\left( u \right)}$$$：

$$$\frac{1}{\sqrt{4 - 4 \sin^{2}{\left( u \right)}}}=\frac{1}{2 \sqrt{1 - \sin^{2}{\left( u \right)}}}=\frac{1}{2 \sqrt{\cos^{2}{\left( u \right)}}}$$$

假設 $$$\cos{\left( u \right)} \ge 0$$$，可得如下：

$$$\frac{1}{2 \sqrt{\cos^{2}{\left( u \right)}}} = \frac{1}{2 \cos{\left( u \right)}}$$$

積分可以改寫為

$$- \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{4 - x^{2}}} d x}}}}{2} = - \frac{{\color{red}{\int{1 d u}}}}{2}$$

配合 $$$c=1$$$，應用常數法則 $$$\int c\, du = c u$$$：

$$- \frac{{\color{red}{\int{1 d u}}}}{2} = - \frac{{\color{red}{u}}}{2}$$

回顧一下 $$$u=\operatorname{asin}{\left(\frac{x}{2} \right)}$$$：

$$- \frac{{\color{red}{u}}}{2} = - \frac{{\color{red}{\operatorname{asin}{\left(\frac{x}{2} \right)}}}}{2}$$

因此，

$$\int{\left(- \frac{1}{\sqrt{16 - 4 x^{2}}}\right)d x} = - \frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}$$

加上積分常數：

$$\int{\left(- \frac{1}{\sqrt{16 - 4 x^{2}}}\right)d x} = - \frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}+C$$

$$$\int \left(- \frac{1}{\sqrt{16 - 4 x^{2}}}\right)\, dx = - \frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + C$$$A