$$$x^{2} e^{3 x}$$$ 的積分
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求$$$\int x^{2} e^{3 x}\, dx$$$。
解答
對於積分 $$$\int{x^{2} e^{3 x} d x}$$$，使用分部積分法 $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$。
令 $$$\operatorname{u}=x^{2}$$$ 與 $$$\operatorname{dv}=e^{3 x} dx$$$。
則 $$$\operatorname{du}=\left(x^{2}\right)^{\prime }dx=2 x dx$$$（步驟見 »），且 $$$\operatorname{v}=\int{e^{3 x} d x}=\frac{e^{3 x}}{3}$$$（步驟見 »）。
因此，
$${\color{red}{\int{x^{2} e^{3 x} d x}}}={\color{red}{\left(x^{2} \cdot \frac{e^{3 x}}{3}-\int{\frac{e^{3 x}}{3} \cdot 2 x d x}\right)}}={\color{red}{\left(\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \int{\frac{2 x e^{3 x}}{3} d x}\right)}}$$
套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$，使用 $$$c=\frac{2}{3}$$$ 與 $$$f{\left(x \right)} = x e^{3 x}$$$：
$$\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - {\color{red}{\int{\frac{2 x e^{3 x}}{3} d x}}} = \frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - {\color{red}{\left(\frac{2 \int{x e^{3 x} d x}}{3}\right)}}$$
對於積分 $$$\int{x e^{3 x} d x}$$$，使用分部積分法 $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$。
令 $$$\operatorname{u}=x$$$ 與 $$$\operatorname{dv}=e^{3 x} dx$$$。
則 $$$\operatorname{du}=\left(x\right)^{\prime }dx=1 dx$$$（步驟見 »），且 $$$\operatorname{v}=\int{e^{3 x} d x}=\frac{e^{3 x}}{3}$$$（步驟見 »）。
該積分可改寫為
$$\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2 {\color{red}{\int{x e^{3 x} d x}}}}{3}=\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2 {\color{red}{\left(x \cdot \frac{e^{3 x}}{3}-\int{\frac{e^{3 x}}{3} \cdot 1 d x}\right)}}}{3}=\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2 {\color{red}{\left(\frac{x e^{3 x}}{3} - \int{\frac{e^{3 x}}{3} d x}\right)}}}{3}$$
套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$，使用 $$$c=\frac{1}{3}$$$ 與 $$$f{\left(x \right)} = e^{3 x}$$$：
$$\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2 x e^{3 x}}{9} + \frac{2 {\color{red}{\int{\frac{e^{3 x}}{3} d x}}}}{3} = \frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2 x e^{3 x}}{9} + \frac{2 {\color{red}{\left(\frac{\int{e^{3 x} d x}}{3}\right)}}}{3}$$
令 $$$u=3 x$$$。
則 $$$du=\left(3 x\right)^{\prime }dx = 3 dx$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dx = \frac{du}{3}$$$。
該積分變為
$$\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2 x e^{3 x}}{9} + \frac{2 {\color{red}{\int{e^{3 x} d x}}}}{9} = \frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2 x e^{3 x}}{9} + \frac{2 {\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{3} d u}}}}{9}$$
套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=\frac{1}{3}$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$：
$$\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2 x e^{3 x}}{9} + \frac{2 {\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{3} d u}}}}{9} = \frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2 x e^{3 x}}{9} + \frac{2 {\color{red}{\left(\frac{\int{e^{u} d u}}{3}\right)}}}{9}$$
指數函數的積分為 $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$：
$$\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2 x e^{3 x}}{9} + \frac{2 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{27} = \frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2 x e^{3 x}}{9} + \frac{2 {\color{red}{e^{u}}}}{27}$$
回顧一下 $$$u=3 x$$$：
$$\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2 x e^{3 x}}{9} + \frac{2 e^{{\color{red}{u}}}}{27} = \frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2 x e^{3 x}}{9} + \frac{2 e^{{\color{red}{\left(3 x\right)}}}}{27}$$
因此，
$$\int{x^{2} e^{3 x} d x} = \frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2 x e^{3 x}}{9} + \frac{2 e^{3 x}}{27}$$
化簡：
$$\int{x^{2} e^{3 x} d x} = \frac{\left(9 x^{2} - 6 x + 2\right) e^{3 x}}{27}$$
加上積分常數：
$$\int{x^{2} e^{3 x} d x} = \frac{\left(9 x^{2} - 6 x + 2\right) e^{3 x}}{27}+C$$
答案
$$$\int x^{2} e^{3 x}\, dx = \frac{\left(9 x^{2} - 6 x + 2\right) e^{3 x}}{27} + C$$$A