$$$\sqrt{\frac{x}{4 - x^{3}}}$$$ 的積分

求$$$\int \sqrt{\frac{x}{4 - x^{3}}}\, dx$$$。

已將輸入重寫為：$$$\int{\sqrt{\frac{x}{4 - x^{3}}} d x}=\int{\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{4 - x^{3}}} d x}$$$。

令 $$$u=x^{\frac{3}{2}}$$$。

則 $$$du=\left(x^{\frac{3}{2}}\right)^{\prime }dx = \frac{3 \sqrt{x}}{2} dx$$$ (步驟見»)，並可得 $$$\sqrt{x} dx = \frac{2 du}{3}$$$。

所以，

$${\color{red}{\int{\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{4 - x^{3}}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{2}{3 \sqrt{4 - u^{2}}} d u}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=\frac{2}{3}$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{\sqrt{4 - u^{2}}}$$$：

$${\color{red}{\int{\frac{2}{3 \sqrt{4 - u^{2}}} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{2 \int{\frac{1}{\sqrt{4 - u^{2}}} d u}}{3}\right)}}$$

令 $$$u=2 \sin{\left(v \right)}$$$。

則 $$$du=\left(2 \sin{\left(v \right)}\right)^{\prime }dv = 2 \cos{\left(v \right)} dv$$$（步驟見»）。

此外，由此可得 $$$v=\operatorname{asin}{\left(\frac{u}{2} \right)}$$$。

被積函數變為

$$$\frac{1}{\sqrt{4 - u ^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{4 - 4 \sin^{2}{\left( v \right)}}}$$$

使用恆等式 $$$1 - \sin^{2}{\left( v \right)} = \cos^{2}{\left( v \right)}$$$：

$$$\frac{1}{\sqrt{4 - 4 \sin^{2}{\left( v \right)}}}=\frac{1}{2 \sqrt{1 - \sin^{2}{\left( v \right)}}}=\frac{1}{2 \sqrt{\cos^{2}{\left( v \right)}}}$$$

假設 $$$\cos{\left( v \right)} \ge 0$$$，可得如下：

$$$\frac{1}{2 \sqrt{\cos^{2}{\left( v \right)}}} = \frac{1}{2 \cos{\left( v \right)}}$$$

積分可以改寫為

$$\frac{2 {\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{4 - u^{2}}} d u}}}}{3} = \frac{2 {\color{red}{\int{1 d v}}}}{3}$$

配合 $$$c=1$$$，應用常數法則 $$$\int c\, dv = c v$$$：

$$\frac{2 {\color{red}{\int{1 d v}}}}{3} = \frac{2 {\color{red}{v}}}{3}$$

回顧一下 $$$v=\operatorname{asin}{\left(\frac{u}{2} \right)}$$$：

$$\frac{2 {\color{red}{v}}}{3} = \frac{2 {\color{red}{\operatorname{asin}{\left(\frac{u}{2} \right)}}}}{3}$$

回顧一下 $$$u=x^{\frac{3}{2}}$$$：

$$\frac{2 \operatorname{asin}{\left(\frac{{\color{red}{u}}}{2} \right)}}{3} = \frac{2 \operatorname{asin}{\left(\frac{{\color{red}{x^{\frac{3}{2}}}}}{2} \right)}}{3}$$

因此，

$$\int{\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{4 - x^{3}}} d x} = \frac{2 \operatorname{asin}{\left(\frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} \right)}}{3}$$

加上積分常數：

$$\int{\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{4 - x^{3}}} d x} = \frac{2 \operatorname{asin}{\left(\frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} \right)}}{3}+C$$

$$$\int \sqrt{\frac{x}{4 - x^{3}}}\, dx = \frac{2 \operatorname{asin}{\left(\frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} \right)}}{3} + C$$$A