$$$e^{\frac{x}{c}}$$$ 對 $$$x$$$ 的積分

求$$$\int e^{\frac{x}{c}}\, dx$$$。

令 $$$u=\frac{x}{c}$$$。

則 $$$du=\left(\frac{x}{c}\right)^{\prime }dx = \frac{dx}{c}$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dx = c du$$$。

所以，

$${\color{red}{\int{e^{\frac{x}{c}} d x}}} = {\color{red}{\int{c e^{u} d u}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=c$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$：

$${\color{red}{\int{c e^{u} d u}}} = {\color{red}{c \int{e^{u} d u}}}$$

指數函數的積分為 $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$：

$$c {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = c {\color{red}{e^{u}}}$$

回顧一下 $$$u=\frac{x}{c}$$$：

$$c e^{{\color{red}{u}}} = c e^{{\color{red}{\frac{x}{c}}}}$$

因此，

$$\int{e^{\frac{x}{c}} d x} = c e^{\frac{x}{c}}$$

加上積分常數：

$$\int{e^{\frac{x}{c}} d x} = c e^{\frac{x}{c}}+C$$

$$$\int e^{\frac{x}{c}}\, dx = c e^{\frac{x}{c}} + C$$$A