$$$\frac{\ln\left(- x\right)}{2}$$$ 的積分

求$$$\int \frac{\ln\left(- x\right)}{2}\, dx$$$。

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$，使用 $$$c=\frac{1}{2}$$$ 與 $$$f{\left(x \right)} = \ln{\left(- x \right)}$$$：

$${\color{red}{\int{\frac{\ln{\left(- x \right)}}{2} d x}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\ln{\left(- x \right)} d x}}{2}\right)}}$$

令 $$$u=- x$$$。

則 $$$du=\left(- x\right)^{\prime }dx = - dx$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dx = - du$$$。

所以，

$$\frac{{\color{red}{\int{\ln{\left(- x \right)} d x}}}}{2} = \frac{{\color{red}{\int{\left(- \ln{\left(u \right)}\right)d u}}}}{2}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=-1$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = \ln{\left(u \right)}$$$：

$$\frac{{\color{red}{\int{\left(- \ln{\left(u \right)}\right)d u}}}}{2} = \frac{{\color{red}{\left(- \int{\ln{\left(u \right)} d u}\right)}}}{2}$$

對於積分 $$$\int{\ln{\left(u \right)} d u}$$$，使用分部積分法 $$$\int \operatorname{g} \operatorname{dv} = \operatorname{g}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{dg}$$$。

令 $$$\operatorname{g}=\ln{\left(u \right)}$$$ 與 $$$\operatorname{dv}=du$$$。

則 $$$\operatorname{dg}=\left(\ln{\left(u \right)}\right)^{\prime }du=\frac{du}{u}$$$（步驟見 »），且 $$$\operatorname{v}=\int{1 d u}=u$$$（步驟見 »）。

因此，

$$- \frac{{\color{red}{\int{\ln{\left(u \right)} d u}}}}{2}=- \frac{{\color{red}{\left(\ln{\left(u \right)} \cdot u-\int{u \cdot \frac{1}{u} d u}\right)}}}{2}=- \frac{{\color{red}{\left(u \ln{\left(u \right)} - \int{1 d u}\right)}}}{2}$$

配合 $$$c=1$$$，應用常數法則 $$$\int c\, du = c u$$$：

$$- \frac{u \ln{\left(u \right)}}{2} + \frac{{\color{red}{\int{1 d u}}}}{2} = - \frac{u \ln{\left(u \right)}}{2} + \frac{{\color{red}{u}}}{2}$$

回顧一下 $$$u=- x$$$：

$$\frac{{\color{red}{u}}}{2} - \frac{{\color{red}{u}} \ln{\left({\color{red}{u}} \right)}}{2} = \frac{{\color{red}{\left(- x\right)}}}{2} - \frac{{\color{red}{\left(- x\right)}} \ln{\left({\color{red}{\left(- x\right)}} \right)}}{2}$$

因此，

$$\int{\frac{\ln{\left(- x \right)}}{2} d x} = \frac{x \ln{\left(- x \right)}}{2} - \frac{x}{2}$$

化簡：

$$\int{\frac{\ln{\left(- x \right)}}{2} d x} = \frac{x \left(\ln{\left(- x \right)} - 1\right)}{2}$$

加上積分常數：

$$\int{\frac{\ln{\left(- x \right)}}{2} d x} = \frac{x \left(\ln{\left(- x \right)} - 1\right)}{2}+C$$

$$$\int \frac{\ln\left(- x\right)}{2}\, dx = \frac{x \left(\ln\left(- x\right) - 1\right)}{2} + C$$$A