$$$- \frac{1}{2 x - 5} + \frac{1}{2 x^{5}}$$$ 的積分
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求$$$\int \left(- \frac{1}{2 x - 5} + \frac{1}{2 x^{5}}\right)\, dx$$$。
解答
逐項積分：
$${\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{2 x - 5} + \frac{1}{2 x^{5}}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(\int{\frac{1}{2 x^{5}} d x} - \int{\frac{1}{2 x - 5} d x}\right)}}$$
套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$，使用 $$$c=\frac{1}{2}$$$ 與 $$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{x^{5}}$$$：
$$- \int{\frac{1}{2 x - 5} d x} + {\color{red}{\int{\frac{1}{2 x^{5}} d x}}} = - \int{\frac{1}{2 x - 5} d x} + {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{x^{5}} d x}}{2}\right)}}$$
套用冪次法則 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，以 $$$n=-5$$$：
$$- \int{\frac{1}{2 x - 5} d x} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{x^{5}} d x}}}}{2}=- \int{\frac{1}{2 x - 5} d x} + \frac{{\color{red}{\int{x^{-5} d x}}}}{2}=- \int{\frac{1}{2 x - 5} d x} + \frac{{\color{red}{\frac{x^{-5 + 1}}{-5 + 1}}}}{2}=- \int{\frac{1}{2 x - 5} d x} + \frac{{\color{red}{\left(- \frac{x^{-4}}{4}\right)}}}{2}=- \int{\frac{1}{2 x - 5} d x} + \frac{{\color{red}{\left(- \frac{1}{4 x^{4}}\right)}}}{2}$$
令 $$$u=2 x - 5$$$。
則 $$$du=\left(2 x - 5\right)^{\prime }dx = 2 dx$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dx = \frac{du}{2}$$$。
該積分變為
$$- {\color{red}{\int{\frac{1}{2 x - 5} d x}}} - \frac{1}{8 x^{4}} = - {\color{red}{\int{\frac{1}{2 u} d u}}} - \frac{1}{8 x^{4}}$$
套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=\frac{1}{2}$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{u}$$$：
$$- {\color{red}{\int{\frac{1}{2 u} d u}}} - \frac{1}{8 x^{4}} = - {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{u} d u}}{2}\right)}} - \frac{1}{8 x^{4}}$$
$$$\frac{1}{u}$$$ 的積分是 $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$：
$$- \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}}{2} - \frac{1}{8 x^{4}} = - \frac{{\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}}{2} - \frac{1}{8 x^{4}}$$
回顧一下 $$$u=2 x - 5$$$：
$$- \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)}}{2} - \frac{1}{8 x^{4}} = - \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(2 x - 5\right)}}}\right| \right)}}{2} - \frac{1}{8 x^{4}}$$
因此，
$$\int{\left(- \frac{1}{2 x - 5} + \frac{1}{2 x^{5}}\right)d x} = - \frac{\ln{\left(\left|{2 x - 5}\right| \right)}}{2} - \frac{1}{8 x^{4}}$$
加上積分常數：
$$\int{\left(- \frac{1}{2 x - 5} + \frac{1}{2 x^{5}}\right)d x} = - \frac{\ln{\left(\left|{2 x - 5}\right| \right)}}{2} - \frac{1}{8 x^{4}}+C$$
答案
$$$\int \left(- \frac{1}{2 x - 5} + \frac{1}{2 x^{5}}\right)\, dx = \left(- \frac{\ln\left(\left|{2 x - 5}\right|\right)}{2} - \frac{1}{8 x^{4}}\right) + C$$$A