$$$\frac{x^{2} \left(3 - \frac{1}{x^{2}}\right)}{3}$$$ 的積分
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求$$$\int \frac{x^{2} \left(3 - \frac{1}{x^{2}}\right)}{3}\, dx$$$。
解答
已將輸入重寫為：$$$\int{\frac{x^{2} \left(3 - \frac{1}{x^{2}}\right)}{3} d x}=\int{x^{2} \left(1 - \frac{1}{3 x^{2}}\right) d x}$$$。
Expand the expression:
$${\color{red}{\int{x^{2} \left(1 - \frac{1}{3 x^{2}}\right) d x}}} = {\color{red}{\int{\left(x^{2} - \frac{1}{3}\right)d x}}}$$
逐項積分：
$${\color{red}{\int{\left(x^{2} - \frac{1}{3}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(- \int{\frac{1}{3} d x} + \int{x^{2} d x}\right)}}$$
配合 $$$c=\frac{1}{3}$$$，應用常數法則 $$$\int c\, dx = c x$$$：
$$\int{x^{2} d x} - {\color{red}{\int{\frac{1}{3} d x}}} = \int{x^{2} d x} - {\color{red}{\left(\frac{x}{3}\right)}}$$
套用冪次法則 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，以 $$$n=2$$$：
$$- \frac{x}{3} + {\color{red}{\int{x^{2} d x}}}=- \frac{x}{3} + {\color{red}{\frac{x^{1 + 2}}{1 + 2}}}=- \frac{x}{3} + {\color{red}{\left(\frac{x^{3}}{3}\right)}}$$
因此，
$$\int{x^{2} \left(1 - \frac{1}{3 x^{2}}\right) d x} = \frac{x^{3}}{3} - \frac{x}{3}$$
化簡：
$$\int{x^{2} \left(1 - \frac{1}{3 x^{2}}\right) d x} = \frac{x \left(x^{2} - 1\right)}{3}$$
加上積分常數：
$$\int{x^{2} \left(1 - \frac{1}{3 x^{2}}\right) d x} = \frac{x \left(x^{2} - 1\right)}{3}+C$$
答案
$$$\int \frac{x^{2} \left(3 - \frac{1}{x^{2}}\right)}{3}\, dx = \frac{x \left(x^{2} - 1\right)}{3} + C$$$A