$$$\frac{\cos{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x^{3}}$$$ 的積分

求$$$\int \frac{\cos{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x^{3}}\, dx$$$。

令 $$$u=\frac{1}{x}$$$。

則 $$$du=\left(\frac{1}{x}\right)^{\prime }dx = - \frac{1}{x^{2}} dx$$$ (步驟見»)，並可得 $$$\frac{dx}{x^{2}} = - du$$$。

因此，

$${\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x^{3}} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(- u \cos{\left(u \right)}\right)d u}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=-1$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = u \cos{\left(u \right)}$$$：

$${\color{red}{\int{\left(- u \cos{\left(u \right)}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \int{u \cos{\left(u \right)} d u}\right)}}$$

對於積分 $$$\int{u \cos{\left(u \right)} d u}$$$，使用分部積分法 $$$\int \operatorname{\kappa} \operatorname{dv} = \operatorname{\kappa}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{d\kappa}$$$。

令 $$$\operatorname{\kappa}=u$$$ 與 $$$\operatorname{dv}=\cos{\left(u \right)} du$$$。

則 $$$\operatorname{d\kappa}=\left(u\right)^{\prime }du=1 du$$$（步驟見 »），且 $$$\operatorname{v}=\int{\cos{\left(u \right)} d u}=\sin{\left(u \right)}$$$（步驟見 »）。

該積分變為

$$- {\color{red}{\int{u \cos{\left(u \right)} d u}}}=- {\color{red}{\left(u \cdot \sin{\left(u \right)}-\int{\sin{\left(u \right)} \cdot 1 d u}\right)}}=- {\color{red}{\left(u \sin{\left(u \right)} - \int{\sin{\left(u \right)} d u}\right)}}$$

正弦函數的積分為 $$$\int{\sin{\left(u \right)} d u} = - \cos{\left(u \right)}$$$：

$$- u \sin{\left(u \right)} + {\color{red}{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}} = - u \sin{\left(u \right)} + {\color{red}{\left(- \cos{\left(u \right)}\right)}}$$

回顧一下 $$$u=\frac{1}{x}$$$：

$$- \cos{\left({\color{red}{u}} \right)} - {\color{red}{u}} \sin{\left({\color{red}{u}} \right)} = - \cos{\left({\color{red}{\frac{1}{x}}} \right)} - {\color{red}{\frac{1}{x}}} \sin{\left({\color{red}{\frac{1}{x}}} \right)}$$

因此，

$$\int{\frac{\cos{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x^{3}} d x} = - \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} - \frac{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x}$$

加上積分常數：

$$\int{\frac{\cos{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x^{3}} d x} = - \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} - \frac{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x}+C$$

$$$\int \frac{\cos{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x^{3}}\, dx = \left(- \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} - \frac{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x}\right) + C$$$A