$$$\left(a t - b t\right)^{2}$$$ 對 $$$t$$$ 的積分
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求$$$\int \left(a t - b t\right)^{2}\, dt$$$。
解答
令 $$$u=a t - b t$$$。
則 $$$du=\left(a t - b t\right)^{\prime }dt = \left(a - b\right) dt$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dt = \frac{du}{a - b}$$$。
所以，
$${\color{red}{\int{\left(a t - b t\right)^{2} d t}}} = {\color{red}{\int{\frac{u^{2}}{a - b} d u}}}$$
套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=\frac{1}{a - b}$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = u^{2}$$$：
$${\color{red}{\int{\frac{u^{2}}{a - b} d u}}} = {\color{red}{\frac{\int{u^{2} d u}}{a - b}}}$$
套用冪次法則 $$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，以 $$$n=2$$$：
$$\frac{{\color{red}{\int{u^{2} d u}}}}{a - b}=\frac{{\color{red}{\frac{u^{1 + 2}}{1 + 2}}}}{a - b}=\frac{{\color{red}{\left(\frac{u^{3}}{3}\right)}}}{a - b}$$
回顧一下 $$$u=a t - b t$$$：
$$\frac{{\color{red}{u}}^{3}}{3 \left(a - b\right)} = \frac{{\color{red}{\left(a t - b t\right)}}^{3}}{3 \left(a - b\right)}$$
因此，
$$\int{\left(a t - b t\right)^{2} d t} = \frac{\left(a t - b t\right)^{3}}{3 \left(a - b\right)}$$
化簡：
$$\int{\left(a t - b t\right)^{2} d t} = \frac{t^{3} \left(- a + b\right)^{2}}{3}$$
加上積分常數：
$$\int{\left(a t - b t\right)^{2} d t} = \frac{t^{3} \left(- a + b\right)^{2}}{3}+C$$
答案
$$$\int \left(a t - b t\right)^{2}\, dt = \frac{t^{3} \left(- a + b\right)^{2}}{3} + C$$$A