$$$- y^{2} + y + 12$$$ 的積分
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求$$$\int \left(- y^{2} + y + 12\right)\, dy$$$。
解答
逐項積分：
$${\color{red}{\int{\left(- y^{2} + y + 12\right)d y}}} = {\color{red}{\left(\int{12 d y} + \int{y d y} - \int{y^{2} d y}\right)}}$$
配合 $$$c=12$$$，應用常數法則 $$$\int c\, dy = c y$$$：
$$\int{y d y} - \int{y^{2} d y} + {\color{red}{\int{12 d y}}} = \int{y d y} - \int{y^{2} d y} + {\color{red}{\left(12 y\right)}}$$
套用冪次法則 $$$\int y^{n}\, dy = \frac{y^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，以 $$$n=1$$$：
$$12 y - \int{y^{2} d y} + {\color{red}{\int{y d y}}}=12 y - \int{y^{2} d y} + {\color{red}{\frac{y^{1 + 1}}{1 + 1}}}=12 y - \int{y^{2} d y} + {\color{red}{\left(\frac{y^{2}}{2}\right)}}$$
套用冪次法則 $$$\int y^{n}\, dy = \frac{y^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，以 $$$n=2$$$：
$$\frac{y^{2}}{2} + 12 y - {\color{red}{\int{y^{2} d y}}}=\frac{y^{2}}{2} + 12 y - {\color{red}{\frac{y^{1 + 2}}{1 + 2}}}=\frac{y^{2}}{2} + 12 y - {\color{red}{\left(\frac{y^{3}}{3}\right)}}$$
因此，
$$\int{\left(- y^{2} + y + 12\right)d y} = - \frac{y^{3}}{3} + \frac{y^{2}}{2} + 12 y$$
化簡：
$$\int{\left(- y^{2} + y + 12\right)d y} = \frac{y \left(- 2 y^{2} + 3 y + 72\right)}{6}$$
加上積分常數：
$$\int{\left(- y^{2} + y + 12\right)d y} = \frac{y \left(- 2 y^{2} + 3 y + 72\right)}{6}+C$$
答案
$$$\int \left(- y^{2} + y + 12\right)\, dy = \frac{y \left(- 2 y^{2} + 3 y + 72\right)}{6} + C$$$A