$$$\left(x - 4\right)^{7}$$$ 的積分

求$$$\int \left(x - 4\right)^{7}\, dx$$$。

令 $$$u=x - 4$$$。

則 $$$du=\left(x - 4\right)^{\prime }dx = 1 dx$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dx = du$$$。

因此，

$${\color{red}{\int{\left(x - 4\right)^{7} d x}}} = {\color{red}{\int{u^{7} d u}}}$$

套用冪次法則 $$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，以 $$$n=7$$$：

$${\color{red}{\int{u^{7} d u}}}={\color{red}{\frac{u^{1 + 7}}{1 + 7}}}={\color{red}{\left(\frac{u^{8}}{8}\right)}}$$

回顧一下 $$$u=x - 4$$$：

$$\frac{{\color{red}{u}}^{8}}{8} = \frac{{\color{red}{\left(x - 4\right)}}^{8}}{8}$$

因此，

$$\int{\left(x - 4\right)^{7} d x} = \frac{\left(x - 4\right)^{8}}{8}$$

加上積分常數：

$$\int{\left(x - 4\right)^{7} d x} = \frac{\left(x - 4\right)^{8}}{8}+C$$

$$$\int \left(x - 4\right)^{7}\, dx = \frac{\left(x - 4\right)^{8}}{8} + C$$$A