$$$\frac{x^{3}}{x - 3}$$$ 的積分

求$$$\int \frac{x^{3}}{x - 3}\, dx$$$。

由於分子次數不小於分母次數，進行多項式長除法（步驟見»）:

$${\color{red}{\int{\frac{x^{3}}{x - 3} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(x^{2} + 3 x + 9 + \frac{27}{x - 3}\right)d x}}}$$

逐項積分：

$${\color{red}{\int{\left(x^{2} + 3 x + 9 + \frac{27}{x - 3}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(\int{9 d x} + \int{3 x d x} + \int{x^{2} d x} + \int{\frac{27}{x - 3} d x}\right)}}$$

配合 $$$c=9$$$，應用常數法則 $$$\int c\, dx = c x$$$：

$$\int{3 x d x} + \int{x^{2} d x} + \int{\frac{27}{x - 3} d x} + {\color{red}{\int{9 d x}}} = \int{3 x d x} + \int{x^{2} d x} + \int{\frac{27}{x - 3} d x} + {\color{red}{\left(9 x\right)}}$$

套用冪次法則 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，以 $$$n=2$$$：

$$9 x + \int{3 x d x} + \int{\frac{27}{x - 3} d x} + {\color{red}{\int{x^{2} d x}}}=9 x + \int{3 x d x} + \int{\frac{27}{x - 3} d x} + {\color{red}{\frac{x^{1 + 2}}{1 + 2}}}=9 x + \int{3 x d x} + \int{\frac{27}{x - 3} d x} + {\color{red}{\left(\frac{x^{3}}{3}\right)}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$，使用 $$$c=3$$$ 與 $$$f{\left(x \right)} = x$$$：

$$\frac{x^{3}}{3} + 9 x + \int{\frac{27}{x - 3} d x} + {\color{red}{\int{3 x d x}}} = \frac{x^{3}}{3} + 9 x + \int{\frac{27}{x - 3} d x} + {\color{red}{\left(3 \int{x d x}\right)}}$$

套用冪次法則 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，以 $$$n=1$$$：

$$\frac{x^{3}}{3} + 9 x + \int{\frac{27}{x - 3} d x} + 3 {\color{red}{\int{x d x}}}=\frac{x^{3}}{3} + 9 x + \int{\frac{27}{x - 3} d x} + 3 {\color{red}{\frac{x^{1 + 1}}{1 + 1}}}=\frac{x^{3}}{3} + 9 x + \int{\frac{27}{x - 3} d x} + 3 {\color{red}{\left(\frac{x^{2}}{2}\right)}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$，使用 $$$c=27$$$ 與 $$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{x - 3}$$$：

$$\frac{x^{3}}{3} + \frac{3 x^{2}}{2} + 9 x + {\color{red}{\int{\frac{27}{x - 3} d x}}} = \frac{x^{3}}{3} + \frac{3 x^{2}}{2} + 9 x + {\color{red}{\left(27 \int{\frac{1}{x - 3} d x}\right)}}$$

令 $$$u=x - 3$$$。

則 $$$du=\left(x - 3\right)^{\prime }dx = 1 dx$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dx = du$$$。

因此，

$$\frac{x^{3}}{3} + \frac{3 x^{2}}{2} + 9 x + 27 {\color{red}{\int{\frac{1}{x - 3} d x}}} = \frac{x^{3}}{3} + \frac{3 x^{2}}{2} + 9 x + 27 {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}$$

$$$\frac{1}{u}$$$ 的積分是 $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$：

$$\frac{x^{3}}{3} + \frac{3 x^{2}}{2} + 9 x + 27 {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}} = \frac{x^{3}}{3} + \frac{3 x^{2}}{2} + 9 x + 27 {\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}$$

回顧一下 $$$u=x - 3$$$：

$$\frac{x^{3}}{3} + \frac{3 x^{2}}{2} + 9 x + 27 \ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)} = \frac{x^{3}}{3} + \frac{3 x^{2}}{2} + 9 x + 27 \ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(x - 3\right)}}}\right| \right)}$$

因此，

$$\int{\frac{x^{3}}{x - 3} d x} = \frac{x^{3}}{3} + \frac{3 x^{2}}{2} + 9 x + 27 \ln{\left(\left|{x - 3}\right| \right)}$$

加上積分常數：

$$\int{\frac{x^{3}}{x - 3} d x} = \frac{x^{3}}{3} + \frac{3 x^{2}}{2} + 9 x + 27 \ln{\left(\left|{x - 3}\right| \right)}+C$$

$$$\int \frac{x^{3}}{x - 3}\, dx = \left(\frac{x^{3}}{3} + \frac{3 x^{2}}{2} + 9 x + 27 \ln\left(\left|{x - 3}\right|\right)\right) + C$$$A