$$$\left(u + v\right)^{c - 1}$$$ 對 $$$u$$$ 的積分

求$$$\int \left(u + v\right)^{c - 1}\, du$$$。

令 $$$w=u + v$$$。

則 $$$dw=\left(u + v\right)^{\prime }du = 1 du$$$ (步驟見»)，並可得 $$$du = dw$$$。

因此，

$${\color{red}{\int{\left(u + v\right)^{c - 1} d u}}} = {\color{red}{\int{w^{c - 1} d w}}}$$

套用冪次法則 $$$\int w^{n}\, dw = \frac{w^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，以 $$$n=c - 1$$$：

$${\color{red}{\int{w^{c - 1} d w}}}={\color{red}{\frac{w^{\left(c - 1\right) + 1}}{\left(c - 1\right) + 1}}}={\color{red}{\frac{w^{c}}{c}}}$$

回顧一下 $$$w=u + v$$$：

$$\frac{{\color{red}{w}}^{c}}{c} = \frac{{\color{red}{\left(u + v\right)}}^{c}}{c}$$

因此，

$$\int{\left(u + v\right)^{c - 1} d u} = \frac{\left(u + v\right)^{c}}{c}$$

加上積分常數：

$$\int{\left(u + v\right)^{c - 1} d u} = \frac{\left(u + v\right)^{c}}{c}+C$$

$$$\int \left(u + v\right)^{c - 1}\, du = \frac{\left(u + v\right)^{c}}{c} + C$$$A