$$$\frac{\ln^{3}\left(x\right)}{x^{2}}$$$ 的積分

求$$$\int \frac{\ln^{3}\left(x\right)}{x^{2}}\, dx$$$。

令 $$$u=\frac{1}{x}$$$。

則 $$$du=\left(\frac{1}{x}\right)^{\prime }dx = - \frac{1}{x^{2}} dx$$$ (步驟見»)，並可得 $$$\frac{dx}{x^{2}} = - du$$$。

該積分變為

$${\color{red}{\int{\frac{\ln{\left(x \right)}^{3}}{x^{2}} d x}}} = {\color{red}{\int{\ln{\left(u \right)}^{3} d u}}}$$

對於積分 $$$\int{\ln{\left(u \right)}^{3} d u}$$$，使用分部積分法 $$$\int \operatorname{\kappa} \operatorname{dv} = \operatorname{\kappa}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{d\kappa}$$$。

令 $$$\operatorname{\kappa}=\ln{\left(u \right)}^{3}$$$ 與 $$$\operatorname{dv}=du$$$。

則 $$$\operatorname{d\kappa}=\left(\ln{\left(u \right)}^{3}\right)^{\prime }du=\frac{3 \ln{\left(u \right)}^{2}}{u} du$$$（步驟見 »），且 $$$\operatorname{v}=\int{1 d u}=u$$$（步驟見 »）。

該積分變為

$${\color{red}{\int{\ln{\left(u \right)}^{3} d u}}}={\color{red}{\left(\ln{\left(u \right)}^{3} \cdot u-\int{u \cdot \frac{3 \ln{\left(u \right)}^{2}}{u} d u}\right)}}={\color{red}{\left(u \ln{\left(u \right)}^{3} - \int{3 \ln{\left(u \right)}^{2} d u}\right)}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=3$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = \ln{\left(u \right)}^{2}$$$：

$$u \ln{\left(u \right)}^{3} - {\color{red}{\int{3 \ln{\left(u \right)}^{2} d u}}} = u \ln{\left(u \right)}^{3} - {\color{red}{\left(3 \int{\ln{\left(u \right)}^{2} d u}\right)}}$$

對於積分 $$$\int{\ln{\left(u \right)}^{2} d u}$$$，使用分部積分法 $$$\int \operatorname{\kappa} \operatorname{dv} = \operatorname{\kappa}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{d\kappa}$$$。

令 $$$\operatorname{\kappa}=\ln{\left(u \right)}^{2}$$$ 與 $$$\operatorname{dv}=du$$$。

則 $$$\operatorname{d\kappa}=\left(\ln{\left(u \right)}^{2}\right)^{\prime }du=\frac{2 \ln{\left(u \right)}}{u} du$$$（步驟見 »），且 $$$\operatorname{v}=\int{1 d u}=u$$$（步驟見 »）。

所以，

$$u \ln{\left(u \right)}^{3} - 3 {\color{red}{\int{\ln{\left(u \right)}^{2} d u}}}=u \ln{\left(u \right)}^{3} - 3 {\color{red}{\left(\ln{\left(u \right)}^{2} \cdot u-\int{u \cdot \frac{2 \ln{\left(u \right)}}{u} d u}\right)}}=u \ln{\left(u \right)}^{3} - 3 {\color{red}{\left(u \ln{\left(u \right)}^{2} - \int{2 \ln{\left(u \right)} d u}\right)}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=2$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = \ln{\left(u \right)}$$$：

$$u \ln{\left(u \right)}^{3} - 3 u \ln{\left(u \right)}^{2} + 3 {\color{red}{\int{2 \ln{\left(u \right)} d u}}} = u \ln{\left(u \right)}^{3} - 3 u \ln{\left(u \right)}^{2} + 3 {\color{red}{\left(2 \int{\ln{\left(u \right)} d u}\right)}}$$

對於積分 $$$\int{\ln{\left(u \right)} d u}$$$，使用分部積分法 $$$\int \operatorname{\kappa} \operatorname{dv} = \operatorname{\kappa}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{d\kappa}$$$。

令 $$$\operatorname{\kappa}=\ln{\left(u \right)}$$$ 與 $$$\operatorname{dv}=du$$$。

則 $$$\operatorname{d\kappa}=\left(\ln{\left(u \right)}\right)^{\prime }du=\frac{du}{u}$$$（步驟見 »），且 $$$\operatorname{v}=\int{1 d u}=u$$$（步驟見 »）。

因此，

$$u \ln{\left(u \right)}^{3} - 3 u \ln{\left(u \right)}^{2} + 6 {\color{red}{\int{\ln{\left(u \right)} d u}}}=u \ln{\left(u \right)}^{3} - 3 u \ln{\left(u \right)}^{2} + 6 {\color{red}{\left(\ln{\left(u \right)} \cdot u-\int{u \cdot \frac{1}{u} d u}\right)}}=u \ln{\left(u \right)}^{3} - 3 u \ln{\left(u \right)}^{2} + 6 {\color{red}{\left(u \ln{\left(u \right)} - \int{1 d u}\right)}}$$

配合 $$$c=1$$$，應用常數法則 $$$\int c\, du = c u$$$：

$$u \ln{\left(u \right)}^{3} - 3 u \ln{\left(u \right)}^{2} + 6 u \ln{\left(u \right)} - 6 {\color{red}{\int{1 d u}}} = u \ln{\left(u \right)}^{3} - 3 u \ln{\left(u \right)}^{2} + 6 u \ln{\left(u \right)} - 6 {\color{red}{u}}$$

回顧一下 $$$u=\frac{1}{x}$$$：

$$- 6 {\color{red}{u}} + 6 {\color{red}{u}} \ln{\left({\color{red}{u}} \right)} - 3 {\color{red}{u}} \ln{\left({\color{red}{u}} \right)}^{2} + {\color{red}{u}} \ln{\left({\color{red}{u}} \right)}^{3} = - 6 {\color{red}{\frac{1}{x}}} + 6 {\color{red}{\frac{1}{x}}} \ln{\left({\color{red}{\frac{1}{x}}} \right)} - 3 {\color{red}{\frac{1}{x}}} \ln{\left({\color{red}{\frac{1}{x}}} \right)}^{2} + {\color{red}{\frac{1}{x}}} \ln{\left({\color{red}{\frac{1}{x}}} \right)}^{3}$$

因此，

$$\int{\frac{\ln{\left(x \right)}^{3}}{x^{2}} d x} = \frac{\ln{\left(\frac{1}{x} \right)}^{3}}{x} - \frac{3 \ln{\left(\frac{1}{x} \right)}^{2}}{x} + \frac{6 \ln{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x} - \frac{6}{x}$$

化簡：

$$\int{\frac{\ln{\left(x \right)}^{3}}{x^{2}} d x} = \frac{- \ln{\left(x \right)}^{3} - 3 \ln{\left(x \right)}^{2} - 6 \ln{\left(x \right)} - 6}{x}$$

加上積分常數：

$$\int{\frac{\ln{\left(x \right)}^{3}}{x^{2}} d x} = \frac{- \ln{\left(x \right)}^{3} - 3 \ln{\left(x \right)}^{2} - 6 \ln{\left(x \right)} - 6}{x}+C$$

$$$\int \frac{\ln^{3}\left(x\right)}{x^{2}}\, dx = \frac{- \ln^{3}\left(x\right) - 3 \ln^{2}\left(x\right) - 6 \ln\left(x\right) - 6}{x} + C$$$A